Resolva os seguintes sistemas de equações lineares utilizando o método de inversa de matrizes:
(d)
r 5 x1+3 x2+2 x3=4 3 x1+3 x2+2 x3=2 x2+x3=5

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas ( x1, x2, x3) e precisamos resolvê-lo usando o método da matriz inversa. Para isso, vamos precisar organizar as equações em forma de matrizes, calcular a inversa da matriz dos coeficientes e, finalmente, encontrar as soluções das incógnitas.

Passo 2

Vamos escrever o sistema de equações na forma matricial A cdot X = B, onde:
A = 5 & 3 & 2 3 & 3 & 2 0 & 1 & 1 , X = x1 x2 x3 , B = 4 2 5

Passo 3

O método da matriz inversa nos permite encontrar X multiplicando ambos os lados da equação A cdot X = B pela inversa de A, denotada por A^-1. Assim:
X = A^-1 cdot B

Passo 4

Primeiro, vamos calcular a matriz inversa A^-1. Para isso, precisamos encontrar o determinante de A e a matriz adjunta.
O determinante de A ( det(A)) é calculado da seguinte forma:
det(A) = 5 cdot (3 cdot 1 - 2 cdot 1) - 3 cdot (3 cdot 1 - 2 cdot 0) + 2 cdot (3 cdot 1 - 3 cdot 0) det(A) = 5 cdot (3 - 2) - 3 cdot (3 - 0) + 2 cdot (3 - 0) det(A) = 5 cdot 1 - 3 cdot 3 + 2 cdot 3 det(A) = 5 - 9 + 6 det(A) = 2
Como o determinante é diferente de zero ( det(A) = 2), a matriz A é invertível.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta de A. A matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores.
Calculando os cofatores:
  • Cofator C11 = det3 & 2 1 & 1 = 3 cdot 1 - 2 cdot 1 = 1
  • Cofator C12 = -det3 & 2 0 & 1 = -(3 cdot 1 - 2 cdot 0) = -3
  • Cofator C13 = det3 & 3 0 & 1 = 3 cdot 1 - 3 cdot 0 = 3
  • Cofator C21 = -det3 & 2 1 & 1 = -(3 cdot 1 - 2 cdot 1) = -1
  • Cofator C22 = det5 & 2 0 & 1 = 5 cdot 1 - 2 cdot 0 = 5
  • Cofator C23 = -det5 & 3 0 & 1 = -(5 cdot 1 - 3 cdot 0) = -5
  • Cofator C31 = det3 & 2 3 & 2 = 3 cdot 2 - 2 cdot 3 = 0
  • Cofator C32 = -det5 & 2 3 & 2 = -(5 cdot 2 - 2 cdot 3) = -(10 - 6) = -4
  • Cofator C33 = det5 & 3 3 & 3 = 5 cdot 3 - 3 cdot 3 = 15 - 9 = 6
Assim, a matriz dos cofatores é:
C = 1 & -3 & 3 -1 & 5 & -5 0 & -4 & 6
A adjunta de A ( adj(A)) é a transposta de C:
adj(A) = C^T = 1 & -1 & 0 -3 & 5 & -4 3 & -5 & 6

Passo 6

Agora, podemos encontrar a matriz inversa A^-1 usando a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = 12 cdot 1 & -1 & 0 -3 & 5 & -4 3 & -5 & 6 = 0.5 & -0.5 & 0 -1.5 & 2.5 & -2 1.5 & -2.5 & 3

Passo 7

Agora que temos A^-1, vamos multiplicá-la pela matriz B para encontrar o vetor X:
X = A^-1 cdot B = 0.5 & -0.5 & 0 -1.5 & 2.5 & -2 1.5 & -2.5 & 3 cdot 4 2 5
Vamos calcular cada componente de X:
  • Para x1:
x1 = 0.5 cdot 4 + (-0.5) cdot 2 + 0 cdot 5 = 2 - 1 + 0 = 1
  • Para x2:
x2 = -1.5 cdot 4 + 2.5 cdot 2 + (-2) cdot 5 = -6 + 5 -10 = -11
  • Para x3:
x3 = 1.5 cdot 4 + (-2.5) cdot 2 + 3 cdot 5 = 6 -5 +15 = 16

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = 1, x2 = -11, x3 = 16

Exercícios relacionados

Encontre a inversa da matriz dada, conferindo a resposta por multiplicação com a inversa:
(e) [rrrr0 & 0 & 2 & 0 1 & 0 & 0 & 1 0 & -1 & 3 & 0 2 & 1 & 5 & -3]
Quais das seguintes matrizes são elementares?
(e) [lll1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0]
Determine se a matriz dada é invertível; se for, encontre a inversa por inspeção.
(b) [lll4 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 5]
Scja
[llll a & 0 & b & 2 a & a & 4 & 4 0 & a & 2 & b ]
a matriz aumentada de um sistema linear. Para quais valores de a c b o sistema tem
(a) uma única solução,
(b) uma solução a um parâmetro,
© uma solução a dois parâmetros,
(d) nenhuma solução?