Encontre a inversa da matriz
(lll 1 & 0 & 2 0 & 1 & 2 1 & 3 & 2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa da seguinte matriz:
(lll 1 & 0 & 2 0 & 1 & 2 1 & 3 & 2 )
Para isso, vamos usar conceitos de matrizes inversas que estão na matéria de álgebra linear. Precisamos calcular o determinante da matriz, verificar se ele é diferente de zero (porque só matrizes com determinante não nulo têm inversa), e depois usar a matriz dos cofatores para encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. O determinante é um número que nos diz se a matriz tem uma inversa. Se o determinante for zero, a matriz não tem inversa.
Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
det(A) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Aplicando isso na nossa matriz:
det(A) = 1 cdot (1 cdot 2 - 2 cdot 3) - 0 cdot (0 cdot 2 - 2 cdot 1) + 2 cdot (0 cdot 3 - 1 cdot 1)
Calculando cada parte:
  • Primeiro termo: 1 cdot (2 - 6) = 1 cdot (-4) = -4
  • Segundo termo: 0 cdot (0 - 2) = 0
  • Terceiro termo: 2 cdot (0 - 1) = 2 cdot (-1) = -2
Somando tudo:
det(A) = -4 + 0 - 2 = -6
Como o determinante é -6, que é diferente de zero, a matriz tem inversa. Vamos prosseguir!

Passo 3

Agora, vamos construir a matriz dos cofatores. Os cofatores são aplicados para cada elemento da matriz original e são usados para formar a matriz adjunta, que é essencial para encontrar a inversa.
Para cada elemento da matriz, calculamos o menor complementar, que é o determinante da matriz que sobra quando removemos a linha e a coluna do elemento em questão, e então aplicamos um sinal positivo ou negativo de acordo com a posição.
Vamos calcular cada cofator:
  1. Cofator de (1,1):
Removendo a primeira linha e primeira coluna, fica:
(ll 1 & 2 3 & 2 )
Determinante: 1 cdot 2 - 2 cdot 3 = 2 - 6 = -4
Sinal: (-1)^1+1 = 1
Cofator: -4 cdot 1 = -4
  1. Cofator de (1,2):
Removendo a primeira linha e segunda coluna, fica:
(ll 0 & 2 1 & 2 )
Determinante: 0 cdot 2 - 2 cdot 1 = 0 - 2 = -2
Sinal: (-1)^1+2 = -1
Cofator: -2 cdot (-1) = 2
  1. Cofator de (1,3):
Removendo a primeira linha e terceira coluna, fica:
(ll 0 & 1 1 & 3 )
Determinante: 0 cdot 3 - 1 cdot 1 = 0 - 1 = -1
Sinal: (-1)^1+3 = 1
Cofator: -1 cdot 1 = -1
  1. Cofator de (2,1):
Removendo a segunda linha e primeira coluna, fica:
(ll 0 & 2 3 & 2 )
Determinante: 0 cdot 2 - 2 cdot 3 = 0 - 6 = -6
Sinal: (-1)^2+1 = -1
Cofator: -6 cdot (-1) = 6
  1. Cofator de (2,2):
Removendo a segunda linha e segunda coluna, fica:
(ll 1 & 2 1 & 2 )
Determinante: 1 cdot 2 - 2 cdot 1 = 2 - 2 = 0
Sinal: (-1)^2+2 = 1
Cofator: 0 cdot 1 = 0
  1. Cofator de (2,3):
Removendo a segunda linha e terceira coluna, fica:
(ll 1 & 0 1 & 3 )
Determinante: 1 cdot 3 - 0 cdot 1 = 3 - 0 = 3
Sinal: (-1)^2+3 = -1
Cofator: 3 cdot (-1) = -3
  1. Cofator de (3,1):
Removendo a terceira linha e primeira coluna, fica:
(ll 0 & 2 1 & 2 )
Determinante: 0 cdot 2 - 2 cdot 1 = 0 - 2 = -2
Sinal: (-1)^3+1 = 1
Cofator: -2 cdot 1 = -2
  1. Cofator de (3,2):
Removendo a terceira linha e segunda coluna, fica:
(ll 1 & 2 0 & 2 )
Determinante: 1 cdot 2 - 2 cdot 0 = 2 - 0 = 2
Sinal: (-1)^3+2 = -1
Cofator: 2 cdot (-1) = -2
  1. Cofator de (3,3):
Removendo a terceira linha e terceira coluna, fica:
(ll 1 & 0 0 & 1 )
Determinante: 1 cdot 1 - 0 cdot 0 = 1 - 0 = 1
Sinal: (-1)^3+3 = 1
Cofator: 1 cdot 1 = 1
Agora, organizamos todos os cofatores na matriz de cofatores:
(lll -4 & 2 & -1 6 & 0 & -3 -2 & -2 & 1 )

Passo 4

O próximo passo é formar a matriz adjunta. Para isso, vamos transpor a matriz dos cofatores, ou seja, vamos trocar linhas por colunas.
Transpondo a matriz dos cofatores que a gente calculou:
Adj(A) = (lll -4 & 6 & -2 2 & 0 & -2 -1 & -3 & 1 )

Passo 5

Agora, para encontrar a matriz inversa, usamos a seguinte fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A)
Já calculamos que o determinante é -6, e temos a matriz adjunta. Então, vamos multiplicar cada elemento da adjunta por 1-6.
Fazendo isso:
A^-1 = 1-6 cdot (lll -4 & 6 & -2 2 & 0 & -2 -1 & -3 & 1 ) = (lll 46 & -66 & 26 -26 & 06 & 26 16 & 36 & -16 )
Simplificando as frações:
A^-1 = (lll 23 & -1 & 13 -13 & 0 & 13 16 & 12 & -16 )

Resposta

A inversa da matriz dada é:
A^-1 = (lll 23 & -1 & 13 -13 & 0 & 13 16 & 12 & -16 )

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