Se
é um operador linear sobre o
cuja matriz em relação à base canônica é simétrica, prove que
é diagonalizável.
Passo 1
Estamos vendo um operador linear
no espaço
cuja matriz na base canônica é simétrica. O objetivo é provar que
é diagonalizável. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes simétricas e diagonalização, para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz
é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja,
. Isso implica que os elementos de
satisfazem
para todos
.
Passo 3
Sabemos que uma matriz simétrica de ordem
possui propriedades especiais. Uma dessas propriedades é que todas as suas autovalores são reais e que ela é diagonalizável. Vamos focar nessa segunda propriedade.
Passo 4
Para provar que
é diagonalizável, precisamos mostrar que existe uma base de
formada por autovetores de
. Como a matriz de
é simétrica, podemos aplicar o teorema espectral, que garante que toda matriz simétrica é diagonalizável por uma matriz ortogonal.
Passo 5
Segundo o teorema espectral, existe uma matriz ortogonal
tal que
é diagonal, onde
é a matriz simétrica de
. Isso significa que
pode ser diagonalizada, ou seja,
, onde
é uma matriz diagonal contendo os autovalores de
.
Passo 6
Como
é a matriz de
na base canônica e
é uma matriz diagonal similar a
, segue que
é diagonalizável, pois há uma base de autovetores que diagonaliza
.
Resposta
Portanto, o operador linear
é diagonalizável.