Se é um operador linear sobre o cuja matriz em relação à base canônica é simétrica, prove que é diagonalizável.
Passo 1
Estamos vendo um operador linear no espaço cuja matriz na base canônica é simétrica. O objetivo é provar que é diagonalizável. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes simétricas e diagonalização, para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser simétrica. Uma matriz é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . Isso implica que os elementos de satisfazem para todos .
Passo 3
Sabemos que uma matriz simétrica de ordem possui propriedades especiais. Uma dessas propriedades é que todas as suas autovalores são reais e que ela é diagonalizável. Vamos focar nessa segunda propriedade.
Passo 4
Para provar que é diagonalizável, precisamos mostrar que existe uma base de formada por autovetores de . Como a matriz de é simétrica, podemos aplicar o teorema espectral, que garante que toda matriz simétrica é diagonalizável por uma matriz ortogonal.
Passo 5
Segundo o teorema espectral, existe uma matriz ortogonal tal que é diagonal, onde é a matriz simétrica de . Isso significa que pode ser diagonalizada, ou seja, , onde é uma matriz diagonal contendo os autovalores de .
Passo 6
Como é a matriz de na base canônica e é uma matriz diagonal similar a , segue que é diagonalizável, pois há uma base de autovetores que diagonaliza .