Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan: (a) [lll2 & 1 & 1 1 & 0 & 1 0 & 3 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa da matriz usando a eliminação de Gauss-Jordan. A matriz que temos é:
2 & 1 & 1 1 & 0 & 1 0 & 3 & 1
Para isso, vamos precisar lembrar que para encontrar a inversa de uma matriz, usamos a técnica de Gauss-Jordan, que envolve transformar a matriz original em uma matriz identidade enquanto aplicamos as mesmas operações em uma matriz identidade paralela. No final, a matriz que estava como identidade vira a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz aumentada, que é a matriz original ao lado da matriz identidade. Assim, temos:
[ccc|ccc 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

O objetivo agora é transformar a parte esquerda dessa matriz aumentada na matriz identidade. Vamos começar fazendo o elemento da primeira linha e primeira coluna ser 1. Para isso, podemos dividir a primeira linha por 2:
[ccc|ccc 1 & 0.5 & 0.5 & 0.5 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora, queremos zerar o elemento abaixo do 1 que acabamos de criar na primeira coluna. Vamos subtrair a primeira linha da segunda linha:
[ccc|ccc 1 & 0.5 & 0.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & -0.5 & 0.5 & -0.5 & 1 & 0 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Em seguida, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. Para isso, multiplicamos a segunda linha por -2:
[ccc|ccc 1 & 0.5 & 0.5 & 0.5 & 0 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & 0 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 6

Agora, vamos zerar os elementos acima e abaixo desse 1 na segunda coluna. Primeiro, subtraímos 0.5 vezes a segunda linha da primeira linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & 0 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 ]
Depois, subtraímos 3 vezes a segunda linha da terceira linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 4 & -3 & 6 & 1 ]

Passo 7

Agora, vamos trabalhar na terceira coluna. Queremos que o terceiro elemento da terceira linha seja 1. Para isso, dividimos a terceira linha por 4:
[ccc|ccc 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 & -0.75 & 1.5 & 0.25 ]

Passo 8

Por fim, vamos zerar os elementos acima do 1 na terceira coluna. Subtraímos a terceira linha da primeira linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 0.75 & -0.5 & -0.25 0 & 1 & -1 & 1 & -2 & 0 0 & 0 & 1 & -0.75 & 1.5 & 0.25 ]
E adicionamos a terceira linha à segunda linha:
[ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 0.75 & -0.5 & -0.25 0 & 1 & 0 & 0.25 & -0.5 & 0.25 0 & 0 & 1 & -0.75 & 1.5 & 0.25 ]

Resposta

A inversa da matriz dada é:
0.75 & -0.5 & -0.25 0.25 & -0.5 & 0.25 -0.75 & 1.5 & 0.25

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