Some os produtos das diagonais que descem e subtraia os produtos das que sobem. Use esse método para calcular os determinantes dos Exercícios de 15 a 18. Cuidado: Esse esquema não se generaliza de nenhuma forma razoável para matrizes 4 times 4 ou maiores. |rrr2 & -4 & 3 3 & 1 & 2 1 & 4 & -1|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o determinante de uma matriz 3x3 usando o método das diagonais, conhecido como Regra de Sarrus. Para isso, precisamos somar os produtos das diagonais que descem e subtrair os produtos das diagonais que sobem. Vamos usar essa técnica para encontrar o determinante da matriz dada:
2 & -4 & 3 3 & 1 & 2 1 & 4 & -1

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as diagonais que descem (da esquerda para a direita, de cima para baixo) e calcular seus produtos. Na Regra de Sarrus, a gente estende a matriz copiando as duas primeiras colunas à direita para facilitar a visualização das diagonais.
Então, a matriz fica assim:
ccc|cc 2 & -4 & 3 & 2 & -4 3 & 1 & 2 & 3 & 1 1 & 4 & -1 & 1 & 4
Agora, identificamos as diagonais que descem:
  1. Primeira diagonal: 2 times 1 times -1 = -2
  2. Segunda diagonal: -4 times 2 times 1 = -8
  3. Terceira diagonal: 3 times 3 times 4 = 36
Vamos calcular cada uma dessas multiplicações:

Passo 3

Agora, somamos esses resultados das diagonais que descem:
-2 + (-8) + 36 = -10 + 36 = 26

Passo 4

Em seguida, vamos identificar as diagonais que sobem (da esquerda para a direita, de baixo para cima) e calcular seus produtos. Usando a mesma matriz estendida:
ccc|cc 2 & -4 & 3 & 2 & -4 3 & 1 & 2 & 3 & 1 1 & 4 & -1 & 1 & 4
As diagonais que sobem são:
  1. Primeira diagonal: 1 times 1 times 3 = 3
  2. Segunda diagonal: 4 times 2 times 2 = 16
  3. Terceira diagonal: -1 times 3 times -4 = 12
Vamos calcular cada uma dessas multiplicações:

Passo 5

Agora, somamos esses resultados das diagonais que sobem:
3 + 16 + 12 = 31

Passo 6

Finalmente, aplicamos a regra de Sarrus: subtraímos a soma das diagonais que sobem da soma das diagonais que descem para encontrar o determinante.
26 - 31 = -5

Resposta

O determinante da matriz é .

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