Sendo e . Calcule
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Vetorial. A questão nos dá o tamanho (módulo) dos vetores e , que são e , respectivamente. Além disso, sabemos que o produto escalar entre eles é . Nosso objetivo aqui é calcular o produto escalar entre os vetores e . Para isso, vamos usar as propriedades do produto escalar e fazer as contas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar é distributivo, ou seja, podemos distribuir os termos quando temos somas de vetores. Então, vamos expandir a expressão usando a propriedade distributiva:

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada um desses termos individualmente:
  1. : O produto escalar de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado do seu módulo. Então, .
  2. : Já sabemos que .
  3. : O produto escalar é comutativo, ou seja, .
  4. : Similar ao primeiro termo, .

Passo 4

Substituindo esses valores na expressão que expandimos:
Agora, vamos calcular cada multiplicação:

Passo 5

Agora, somamos todos esses resultados:

Resposta

O valor de é 5.

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Encontre a inversa das matrizes abaixo usando eliminação de Gauss-Jordan: (a)
Sendo e . Calcule
.
Some os produtos das diagonais que descem e subtraia os produtos das que sobem. Use esse método para calcular os determinantes dos Exercícios de 15 a 18. Cuidado: Esse esquema não se generaliza de nenhuma forma razoável para matrizes ou maiores.
Considere as matrizes e e use um software matemático para verificar a validade das seguintes propriedades: (b)