Sendo |u|=2,|v|=1 e u cdot v=-3. Calcule
(2 u+3 v) cdot(u-2 v).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Álgebra Vetorial. A questão nos dá o tamanho (módulo) dos vetores u e v, que são |u|=2 e |v|=1, respectivamente. Além disso, sabemos que o produto escalar entre eles é u cdot v=-3. Nosso objetivo aqui é calcular o produto escalar entre os vetores (2 u + 3 v) e (u - 2 v). Para isso, vamos usar as propriedades do produto escalar e fazer as contas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o produto escalar é distributivo, ou seja, podemos distribuir os termos quando temos somas de vetores. Então, vamos expandir a expressão (2 u + 3 v) cdot (u - 2 v) usando a propriedade distributiva:
(2 u + 3 v) cdot (u - 2 v) = 2u cdot u - 4u cdot v + 3v cdot u - 6v cdot v

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada um desses termos individualmente:
  1. u cdot u: O produto escalar de um vetor consigo mesmo é igual ao quadrado do seu módulo. Então, u cdot u = |u|^2 = 2^2 = 4.
  2. u cdot v: Já sabemos que u cdot v = -3.
  3. v cdot u: O produto escalar é comutativo, ou seja, v cdot u = u cdot v = -3.
  4. v cdot v: Similar ao primeiro termo, v cdot v = |v|^2 = 1^2 = 1.

Passo 4

Substituindo esses valores na expressão que expandimos:
2u cdot u - 4u cdot v + 3v cdot u - 6v cdot v = 2 times 4 - 4 times (-3) + 3 times (-3) - 6 times 1
Agora, vamos calcular cada multiplicação:
  • 2 times 4 = 8
  • -4 times (-3) = 12
  • 3 times (-3) = -9
  • -6 times 1 = -6

Passo 5

Agora, somamos todos esses resultados:
8 + 12 - 9 - 6 = (8 + 12) + (-9 - 6) = 20 - 15 = 5

Resposta

O valor de (2 u + 3 v) cdot (u - 2 v) é 5.

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