Encontre [IR^3]alpha^beta sabendo que [IR^3]beta^alpha=[lll0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1]

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a matriz de mudança de base , sabendo que é uma matriz específica. Isso envolve conteúdo de álgebra linear, especificamente a mudança de base e a inversão de matrizes. Para resolver, vamos precisar calcular a inversa da matriz fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz [IR^3]beta^alpha = 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 que nos foi dada:

Passo 3

Sabemos que a matriz [IR^3]alpha^beta = ( [IR^3]beta^alpha )^-1 é a inversa da matriz . Ou seja:
Então, nosso objetivo agora é encontrar a matriz inversa da matriz dada.

Passo 4

Para encontrar a inversa de uma matriz A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) , usamos a fórmula:
Onde é o determinante de e é a adjunta de .

Passo 5

Calculando o determinante de A = 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 1 & 1 & 1 :
det(A) = 0 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) + 0 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 1) = -1

Passo 6

Agora, vamos encontrar a matriz adjunta Cofatores = 1 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 0 & 0 & -1 . Isso envolve calcular a matriz de cofatores e depois transpor essa matriz.
Calculando os cofatores:
adj(A) = 1 & -1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 1 & -1
Transpondo a matriz de cofatores, obtemos a adjunta:

Passo 7

Finalmente, aplicando a fórmula da inversa:
A^-1 = 1-1 cdot 1 & -1 & 0 -1 & 0 & 0 0 & 1 & -1 = -1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1

Resposta

[IR^3]alpha^beta = -1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1

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