Seja
onde
. Verifique que
é um espaço vetorial sobre
com elemento neutro da soma
sendo o vetor
. Mostre que
é um produto interno para
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto
com operações de soma
e multiplicação por escalar
definidas de maneira específica. Nosso objetivo é:
- Verificar que
é um espaço vetorial sobre , onde o elemento neutro da soma é o vetor . - Mostrar que o produto interno definido por
é um produto interno para .
Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas de um espaço vetorial e as propriedades de um produto interno. Vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Verificando que
é um espaço vetorial:
Um espaço vetorial precisa satisfazer certos axiomas, como associatividade e comutatividade da soma, existência de um elemento neutro, existência de elementos inversos, distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores e a soma de escalares, e compatibilidade da multiplicação por escalares.
Vamos verificar alguns desses axiomas para
:
-
Elemento Neutro da Soma (
): O elemento neutroda soma satisfaz para qualquer vetor . Segundo o enunciado, o elemento neutro é. Vamos verificar: Portanto,é realmente o elemento neutro. -
Inverso Aditivo:Para cada vetor
, deve existir um vetor tal que . Vamos encontrar: Queremos que, então: Portanto, o inverso deé .
Passo 3
-
Associatividade da Soma (
): A soma deve ser associativa, isto é,. Vamos calcular ambos os lados para vetores, , : Primeiro,. Então,. Simplificando:Agora,. Então,. Simplificando novamente:Como ambos os lados resultam no mesmo vetor, a soma é associativa.
Passo 4
-
Comutatividade da Soma (
): A soma deve ser comutativa, isto é,. Calculando:Como a adição de números reais é comutativa (), temos que . -
Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Vetores:Precisamos verificar se
. Vamos calcular ambos os lados:Primeiro,. Então:Agora,e similar para . Então:Simplificando:Portanto,, o que confirma a distributividade.
Passo 5
Verificando que
é um produto interno:
Um produto interno deve satisfazer as seguintes propriedades:
-
Linearidade na Primeira Variável:
-
Simetria:
-
Positividade:
, e se e somente se .
Vamos verificar essas propriedades para o produto interno dado.
Passo 6
-
Linearidade na Primeira Variável:Vamos calcular
: Simplificando:Agora,: Somando:O que coincide com, confirmando a linearidade. -
Simetria:Vamos verificar se
: Como a multiplicação é comutativa (, etc.), temos que . -
Positividade:Calculamos
: Cada termo é um quadrado, portanto é sempre não negativo. A soma de números não negativos também é não negativa:Além disso,se e somente se , e , ou seja, , que é o elemento neutro da soma. Portanto, a positividade está confirmada.
Passo 7
Conclusão:
Verificamos que todas as propriedades necessárias para
ser um espaço vetorial são satisfeitas, e que o produto interno definido atende às propriedades de linearidade, simetria e positividade.
Resposta
Portanto,
é de fato um espaço vetorial sobre
com o elemento neutro da soma sendo
, e o produto interno
definido é um produto interno válido para
.