Seja onde . Verifique que é um espaço vetorial sobre com elemento neutro da soma sendo o vetor . Mostre que é um produto interno para .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto com operações de soma e multiplicação por escalar definidas de maneira específica. Nosso objetivo é:
  1. Verificar que é um espaço vetorial sobre , onde o elemento neutro da soma é o vetor .
  2. Mostrar que o produto interno definido por é um produto interno para .
Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas de um espaço vetorial e as propriedades de um produto interno. Vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Verificando que é um espaço vetorial:
Um espaço vetorial precisa satisfazer certos axiomas, como associatividade e comutatividade da soma, existência de um elemento neutro, existência de elementos inversos, distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores e a soma de escalares, e compatibilidade da multiplicação por escalares.
Vamos verificar alguns desses axiomas para :
  1. Elemento Neutro da Soma ( ):
    O elemento neutro da soma satisfaz para qualquer vetor .
    Segundo o enunciado, o elemento neutro é . Vamos verificar:
    Portanto, é realmente o elemento neutro.
  2. Inverso Aditivo:
    Para cada vetor , deve existir um vetor tal que .
    Vamos encontrar :
    Queremos que , então:
    Portanto, o inverso de é .

Passo 3

  1. Associatividade da Soma ( ):
    A soma deve ser associativa, isto é, .
    Vamos calcular ambos os lados para vetores , , :
    Primeiro, .
    Então, .
    Simplificando:
    Agora, .
    Então, .
    Simplificando novamente:
    Como ambos os lados resultam no mesmo vetor, a soma é associativa.

Passo 4

  1. Comutatividade da Soma ( ):
    A soma deve ser comutativa, isto é, .
    Calculando:
    Como a adição de números reais é comutativa ( ), temos que .
  2. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Vetores:
    Precisamos verificar se .
    Vamos calcular ambos os lados:
    Primeiro, .
    Então:
    Agora, e similar para .
    Então:
    Simplificando:
    Portanto, , o que confirma a distributividade.

Passo 5

Verificando que é um produto interno:
Um produto interno deve satisfazer as seguintes propriedades:
  1. Linearidade na Primeira Variável:
  2. Simetria:
  3. Positividade:
    , e se e somente se .
Vamos verificar essas propriedades para o produto interno dado.

Passo 6

  1. Linearidade na Primeira Variável:
    Vamos calcular :
    Simplificando:
    Agora, :
    Somando:
    O que coincide com , confirmando a linearidade.
  2. Simetria:
    Vamos verificar se :
    Como a multiplicação é comutativa ( , etc.), temos que .
  3. Positividade:
    Calculamos :
    Cada termo é um quadrado, portanto é sempre não negativo. A soma de números não negativos também é não negativa:
    Além disso, se e somente se , e , ou seja, , que é o elemento neutro da soma. Portanto, a positividade está confirmada.

Passo 7

Conclusão:
Verificamos que todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial são satisfeitas, e que o produto interno definido atende às propriedades de linearidade, simetria e positividade.

Resposta

Portanto, é de fato um espaço vetorial sobre com o elemento neutro da soma sendo , e o produto interno definido é um produto interno válido para .

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