Seja E=(R^3, oplus, odot) onde (a, b, c) oplus(alpha, beta, gamma)=(a, b, c)+(alpha, beta, gamma)-(1,2,3) e lambda odot(a, b, c)=(lambda a, lambda b, lambda c)+((1-lambda), 2(1-lambda), 3(1-lambda)). Verifique que E é um espaço vetorial sobre R com elemento neutro da soma oplus sendo o vetor (1,2,3). Mostre que lang<=(a, b, c),(alpha, beta, gamma)rang<==(a-1)(alpha-1)+(b-2)(beta-2)+(c-3)(gamma-3) é um produto interno para E.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto com operações de soma e multiplicação por escalar definidas de maneira específica. Nosso objetivo é:
  1. Verificar que é um espaço vetorial sobre , onde o elemento neutro da soma é o vetor .
  2. Mostrar que o produto interno definido por é um produto interno para .
Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas de um espaço vetorial e as propriedades de um produto interno. Vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Verificando que (a,b,c) oplus (1,2,3) = (a,b,c) + (1,2,3) - (1,2,3) = (a,b,c) é um espaço vetorial:
Um espaço vetorial precisa satisfazer certos axiomas, como associatividade e comutatividade da soma, existência de um elemento neutro, existência de elementos inversos, distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores e a soma de escalares, e compatibilidade da multiplicação por escalares.
Vamos verificar alguns desses axiomas para (a,b,c) oplus (alpha,beta,gamma) = (a+alpha -1, b+beta -2, c+gamma -3) = (1,2,3) :
  1. Elemento Neutro da Soma ( a + alpha - 1 = 1 Rightarrow alpha = 2 - a ):
    O elemento neutro b + beta - 2 = 2 Rightarrow beta = 4 - b da soma satisfaz c + gamma - 3 = 3 Rightarrow gamma = 6 - c para qualquer vetor .
    Segundo o enunciado, o elemento neutro é . Vamos verificar:
    Portanto, é realmente o elemento neutro.
  2. Inverso Aditivo:
    Para cada vetor , deve existir um vetor tal que .
    Vamos encontrar :
    Queremos que , então:
    Portanto, o inverso de é .

Passo 3

  1. Associatividade da Soma ( (u1 + v1 + w1 -2, u2 + v2 + w2 -4, u3 + v3 + w3 -6) ):
    A soma deve ser associativa, isto é, (u1 + v1 + w1 -2, u2 + v2 + w2 -4, u3 + v3 + w3 -6) .
    Vamos calcular ambos os lados para vetores , , :
    Primeiro, .
    Então, .
    Simplificando:
    Agora, .
    Então, .
    Simplificando novamente:
    Como ambos os lados resultam no mesmo vetor, a soma é associativa.

Passo 4

  1. Comutatividade da Soma ( u oplus v = (u1 + v1 -1, u2 + v2 -2, u3 + v3 -3) ):
    A soma deve ser comutativa, isto é, v oplus u = (v1 + u1 -1, v2 + u2 -2, v3 + u3 -3) .
    Calculando:
    lambda odot (u oplus v) = (lambda(u1 + v1 -1) + (1 - lambda), lambda(u2 + v2 -2) + 2(1 - lambda), lambda(u3 + v3 -3) + 3(1 - lambda))
    lambda odot u oplus lambda odot v = (lambda u1 + 1 - lambda + lambda v1 + 1 - lambda -1, lambda u2 + 2(1 - lambda) + lambda v2 + 2(1 - lambda) -2, lambda u3 + 3(1 - lambda) + lambda v3 + 3(1 - lambda) -3)
    Como a adição de números reais é comutativa ( (lambda(u1 + v1 -1) + (1 - lambda), lambda(u2 + v2 -2) + 2(1 - lambda), lambda(u3 + v3 -3) + 3(1 - lambda)) ), temos que .
  2. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Vetores:
    Precisamos verificar se .
    Vamos calcular ambos os lados:
    Primeiro, .
    Então:
    Agora, e similar para .
    Então:
    Simplificando:
    Portanto, , o que confirma a distributividade.

Passo 5

Verificando que é um produto interno:
Um produto interno deve satisfazer as seguintes propriedades:
  1. Linearidade na Primeira Variável:
  2. Simetria:
  3. Positividade:
    , e se e somente se .
Vamos verificar essas propriedades para o produto interno dado.

Passo 6

  1. Linearidade na Primeira Variável:
    Vamos calcular lang<= (u1 + v1 -1, u2 + v2 -2, u3 + v3 -3), (w1, w2, w3) rang<= = (u1 + v1 -1 -1)(w1 -1) + (u2 + v2 -2 -2)(w2 -2) + (u3 + v3 -3 -3)(w3 -3) :
    (u1 + v1 -2)(w1 -1) + (u2 + v2 -4)(w2 -2) + (u3 + v3 -6)(w3 -3)
    Simplificando:
    (u1 -1)(w1 -1) + (u2 -2)(w2 -2) + (u3 -3)(w3 -3) + (v1 -1)(w1 -1) + (v2 -2)(w2 -2) + (v3 -3)(w3 -3)
    Agora, (u1 + v1 -2)(w1 -1) + (u2 + v2 -4)(w2 -2) + (u3 + v3 -6)(w3 -3) :
    lang<= (a,b,c), (alpha, beta, gamma) rang<= = (a-1)(alpha-1) + (b-2)(beta-2) + (c-3)(gamma-3)
    Somando:
    lang<= (alpha, beta, gamma), (a,b,c) rang<= = (alpha-1)(a-1) + (beta-2)(b-2) + (gamma-3)(c-3)
    O que coincide com (a-1)^2 + (b-2)^2 + (c-3)^2 , confirmando a linearidade.
  2. Simetria:
    Vamos verificar se lang<= u, u rang<= >= 0 :
    Como a multiplicação é comutativa ( , etc.), temos que .
  3. Positividade:
    Calculamos :
    Cada termo é um quadrado, portanto é sempre não negativo. A soma de números não negativos também é não negativa:
    Além disso, se e somente se , e , ou seja, , que é o elemento neutro da soma. Portanto, a positividade está confirmada.

Passo 7

Conclusão:
Verificamos que todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial são satisfeitas, e que o produto interno definido atende às propriedades de linearidade, simetria e positividade.

Resposta

Portanto, é de fato um espaço vetorial sobre com o elemento neutro da soma sendo , e o produto interno definido é um produto interno válido para .

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