Seja onde . Verifique que é um espaço vetorial sobre com elemento neutro da soma sendo o vetor . Mostre que é um produto interno para .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto com operações de soma e multiplicação por escalar definidas de maneira específica. Nosso objetivo é:
Verificar que é um espaço vetorial sobre , onde o elemento neutro da soma é o vetor .
Mostrar que o produto interno definido por é um produto interno para .
Para isso, vamos precisar conhecer os axiomas de um espaço vetorial e as propriedades de um produto interno. Vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Verificando que é um espaço vetorial:
Um espaço vetorial precisa satisfazer certos axiomas, como associatividade e comutatividade da soma, existência de um elemento neutro, existência de elementos inversos, distributividade da multiplicação por escalar em relação à soma de vetores e a soma de escalares, e compatibilidade da multiplicação por escalares.
Vamos verificar alguns desses axiomas para :
Elemento Neutro da Soma ():
O elemento neutro da soma satisfaz para qualquer vetor .
Segundo o enunciado, o elemento neutro é . Vamos verificar:
Portanto, é realmente o elemento neutro.
Inverso Aditivo:
Para cada vetor , deve existir um vetor tal que .
Vamos encontrar :
Queremos que , então:
Portanto, o inverso de é .
Passo 3
Associatividade da Soma ():
A soma deve ser associativa, isto é, .
Vamos calcular ambos os lados para vetores , , :
Primeiro, .
Então, .
Simplificando:
Agora, .
Então, .
Simplificando novamente:
Como ambos os lados resultam no mesmo vetor, a soma é associativa.
Passo 4
Comutatividade da Soma ():
A soma deve ser comutativa, isto é, .
Calculando:
Como a adição de números reais é comutativa (), temos que .
Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Soma de Vetores:
Precisamos verificar se .
Vamos calcular ambos os lados:
Primeiro, .
Então:
Agora, e similar para .
Então:
Simplificando:
Portanto, , o que confirma a distributividade.
Passo 5
Verificando que é um produto interno:
Um produto interno deve satisfazer as seguintes propriedades:
Linearidade na Primeira Variável:
Simetria:
Positividade:
, e se e somente se .
Vamos verificar essas propriedades para o produto interno dado.
Passo 6
Linearidade na Primeira Variável:
Vamos calcular :
Simplificando:
Agora, :
Somando:
O que coincide com , confirmando a linearidade.
Simetria:
Vamos verificar se :
Como a multiplicação é comutativa (, etc.), temos que .
Positividade:
Calculamos :
Cada termo é um quadrado, portanto é sempre não negativo. A soma de números não negativos também é não negativa:
Além disso, se e somente se , e , ou seja, , que é o elemento neutro da soma. Portanto, a positividade está confirmada.
Passo 7
Conclusão:
Verificamos que todas as propriedades necessárias para ser um espaço vetorial são satisfeitas, e que o produto interno definido atende às propriedades de linearidade, simetria e positividade.
Resposta
Portanto, é de fato um espaço vetorial sobre com o elemento neutro da soma sendo , e o produto interno definido é um produto interno válido para .