Seja E=(cca & b -b & a) ; a, b in R. Mostre que E é um subespaço vetorial de R^2 times 2. Escolha uma base ordenada B de E e calcule v=(cc-1 & -1 1 & -1) nesta base, i.e., calcule [v]B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o conjunto E de matrizes do tipo (cca & b -b & a), onde a e b são números reais, é um subespaço vetorial de R^2 times 2. Além disso, precisamos escolher uma base para E e expressar a matriz v=(cc-1 & -1 1 & -1) nessa base. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial, como verificar se um conjunto é um subespaço, e como encontrar uma base e coordenadas em relação a ela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto V é um subespaço de um espaço vetorial maior se ele satisfaz três condições:
  1. O vetor zero está em V.
  2. Se dois vetores estão em V, a soma deles também está em V.
  3. Se um vetor está em V, qualquer múltiplo escalar dele também está em V.
Vamos verificar essas condições para E.

Passo 3

Condição 1: O vetor zero em R^2 times 2 é a matriz (cc0 & 0 0 & 0). Se colocarmos a=0 e b=0 na definição de E, obtemos exatamente essa matriz. Então, o vetor zero está em E.

Passo 4

Condição 2: Vamos pegar duas matrizes quaisquer em E:
A = (cca1 & b1 -b1 & a1)
B = (cca2 & b2 -b2 & a2)
A soma delas é:
A + B = (cca1 + a2 & b1 + b2 -b1 - b2 & a1 + a2)
Vemos que a soma também tem a forma (cca & b -b & a) com a = a1 + a2 e b = b1 + b2. Então, a soma está em E.

Passo 5

Condição 3: Agora, vamos multiplicar uma matriz qualquer de E por um escalar k:
k cdot A = k cdot (cca & b -b & a) = (cck a & k b -k b & k a)
Também está na forma (cca' & b' -b' & a') com a' = k a e b' = k b. Então, qualquer múltiplo escalar de uma matriz em E também está em E.

Passo 6

Como todas as três condições estão satisfeitas, podemos concluir que E é realmente um subespaço vetorial de R^2 times 2.

Passo 7

Agora, vamos escolher uma base ordenada B para E. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Para E, podemos observar que qualquer matriz pode ser escrita como a cdot (cc1 & 0 0 & 1) + b cdot (cc0 & 1 -1 & 0).
Então, uma base para E é:
B = (cc1 & 0 0 & 1), (cc0 & 1 -1 & 0)

Passo 8

Agora, vamos calcular as coordenadas da matriz v=(cc-1 & -1 1 & -1) na base B. Queremos encontrar escalares c1 e c2 tais que:
v = c1 cdot (cc1 & 0 0 & 1) + c2 cdot (cc0 & 1 -1 & 0)

Passo 9

Vamos escrever essa igualdade em termos de suas entradas:
(cc-1 & -1 1 & -1) = (ccc1 & c2 -c2 & c1)
Isso nos dá o sistema de equações:
  1. c1 = -1
  2. c2 = -1
  3. -c2 = 1
  4. c1 = -1
Note que as equações 1 e 4 confirmam c1 = -1 e a equação 2 e 3 também confirmam c2 = -1 (já que -(-1) = 1).

Resposta

A coordenada de v na base B é [v]B = (c-1 -1).

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