Seja
. Mostre que
é um subespaço vetorial de
. Escolha uma base ordenada
de
e calcule
nesta base, i.e., calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o conjunto
de matrizes do tipo
, onde
e
são números reais, é um subespaço vetorial de
. Além disso, precisamos escolher uma base para
e expressar a matriz
nessa base. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial, como verificar se um conjunto é um subespaço, e como encontrar uma base e coordenadas em relação a ela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto
é um subespaço de um espaço vetorial maior se ele satisfaz três condições:
- O vetor zero está em
. - Se dois vetores estão em
, a soma deles também está em . - Se um vetor está em
, qualquer múltiplo escalar dele também está em .
Vamos verificar essas condições para
.
Passo 3
Condição 1: O vetor zero em
é a matriz
. Se colocarmos
e
na definição de
, obtemos exatamente essa matriz. Então, o vetor zero está em
.
Passo 4
Condição 2: Vamos pegar duas matrizes quaisquer em
:
A soma delas é:
Vemos que a soma também tem a forma
com
e
. Então, a soma está em
.
Passo 5
Condição 3: Agora, vamos multiplicar uma matriz qualquer de
por um escalar
:
Também está na forma
com
e
. Então, qualquer múltiplo escalar de uma matriz em
também está em
.
Passo 6
Como todas as três condições estão satisfeitas, podemos concluir que
é realmente um subespaço vetorial de
.
Passo 7
Agora, vamos escolher uma base ordenada
para
. Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Para
, podemos observar que qualquer matriz pode ser escrita como
.
Então, uma base para
é:
Passo 8
Agora, vamos calcular as coordenadas da matriz
na base
. Queremos encontrar escalares
e
tais que:
Passo 9
Vamos escrever essa igualdade em termos de suas entradas:
Isso nos dá o sistema de equações:
Note que as equações 1 e 4 confirmam
e a equação 2 e 3 também confirmam
(já que
).
Resposta
A coordenada de
na base
é
.