Seja . Mostre que é um subespaço vetorial de . Escolha uma base ordenada de e calcule nesta base, i.e., calcule .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o conjunto de matrizes do tipo , onde e são números reais, é um subespaço vetorial de . Além disso, precisamos escolher uma base para e expressar a matriz nessa base. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial, como verificar se um conjunto é um subespaço, e como encontrar uma base e coordenadas em relação a ela.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de um espaço vetorial maior se ele satisfaz três condições:
O vetor zero está em .
Se dois vetores estão em , a soma deles também está em .
Se um vetor está em , qualquer múltiplo escalar dele também está em .
Vamos verificar essas condições para .
Passo 3
Condição 1: O vetor zero em é a matriz . Se colocarmos e na definição de , obtemos exatamente essa matriz. Então, o vetor zero está em .
Passo 4
Condição 2: Vamos pegar duas matrizes quaisquer em :
A soma delas é:
Vemos que a soma também tem a forma com e . Então, a soma está em .
Passo 5
Condição 3: Agora, vamos multiplicar uma matriz qualquer de por um escalar :
Também está na forma com e . Então, qualquer múltiplo escalar de uma matriz em também está em .
Passo 6
Como todas as três condições estão satisfeitas, podemos concluir que é realmente um subespaço vetorial de .
Passo 7
Agora, vamos escolher uma base ordenada para . Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Para , podemos observar que qualquer matriz pode ser escrita como .
Então, uma base para é:
Passo 8
Agora, vamos calcular as coordenadas da matriz na base . Queremos encontrar escalares e tais que:
Passo 9
Vamos escrever essa igualdade em termos de suas entradas:
Isso nos dá o sistema de equações:
Note que as equações 1 e 4 confirmam e a equação 2 e 3 também confirmam (já que ).