Seja . Mostre que é um subespaço vetorial de . Escolha uma base ordenada de e calcule nesta base, i.e., calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que o conjunto de matrizes do tipo , onde e são números reais, é um subespaço vetorial de . Além disso, precisamos escolher uma base para e expressar a matriz nessa base. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial, como verificar se um conjunto é um subespaço, e como encontrar uma base e coordenadas em relação a ela.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de um espaço vetorial maior se ele satisfaz três condições:
  1. O vetor zero está em .
  2. Se dois vetores estão em , a soma deles também está em .
  3. Se um vetor está em , qualquer múltiplo escalar dele também está em .
Vamos verificar essas condições para .

Passo 3

Condição 1: O vetor zero em é a matriz . Se colocarmos e na definição de , obtemos exatamente essa matriz. Então, o vetor zero está em .

Passo 4

Condição 2: Vamos pegar duas matrizes quaisquer em :

A soma delas é:
Vemos que a soma também tem a forma com e . Então, a soma está em .

Passo 5

Condição 3: Agora, vamos multiplicar uma matriz qualquer de por um escalar :
Também está na forma com e . Então, qualquer múltiplo escalar de uma matriz em também está em .

Passo 6

Como todas as três condições estão satisfeitas, podemos concluir que é realmente um subespaço vetorial de .

Passo 7

Agora, vamos escolher uma base ordenada para . Uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Para , podemos observar que qualquer matriz pode ser escrita como .
Então, uma base para é:

Passo 8

Agora, vamos calcular as coordenadas da matriz na base . Queremos encontrar escalares e tais que:

Passo 9

Vamos escrever essa igualdade em termos de suas entradas:
Isso nos dá o sistema de equações:
Note que as equações 1 e 4 confirmam e a equação 2 e 3 também confirmam (já que ).

Resposta

A coordenada de na base é .

Exercícios relacionados

Mostre que o conjunto de todas as matrizes diagonais reais de ordem em relação às operações de adição e multiplicação por escalar de matrizes é um espaço vetorial.
Seja a transformação linear dada pela matriz abaixo. Seja . Calcule uma base para a imagem de , i.e., para .
Encontre sabendo que
Seja onde . Verifique que é um espaço vetorial sobre com elemento neutro da soma sendo o vetor . Mostre que é um produto interno para .