Encontre
, nos seguintes casos:
Passo 1
Então, temos que encontrar a transformada inversa de Laplace de
. Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a série de Taylor para a função arco-tangente e conhecer as transformadas inversas de funções simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função arco-tangente pode ser expandida em uma série de potências. A série de Taylor para
é:
Aqui, expandimos
como uma soma infinita de termos. Vamos substituir
por
para adaptar à nossa função
:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a transformada inversa de Laplace de cada termo dessa série. Sabemos que:
Isso significa que cada termo
terá uma transformada inversa específica. Aplicando isso à nossa série:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão. Notamos que
é o fatorial dos números pares e que a soma envolve potências de
alternadas por sinais. Então, temos:
Passo 5
Essa série representa a transformada inversa de Laplace que procuramos. Infelizmente, não há uma forma fechada mais simples para essa série, então nossa resposta final ficará nessa forma de soma infinita.