Encontre L^{-1}(F(s)), nos seguintes casos:
F(s) = arctan(1/s)

Passo 1

Então, temos que encontrar a transformada inversa de Laplace de . Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a série de Taylor para a função arco-tangente e conhecer as transformadas inversas de funções simples.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função arco-tangente pode ser expandida em uma série de potências. A série de Taylor para é:
Aqui, expandimos como uma soma infinita de termos. Vamos substituir por para adaptar à nossa função :

Passo 3

Agora, queremos encontrar a transformada inversa de Laplace de cada termo dessa série. Sabemos que:
Isso significa que cada termo terá uma transformada inversa específica. Aplicando isso à nossa série:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão. Notamos que é o fatorial dos números pares e que a soma envolve potências de alternadas por sinais. Então, temos:

Passo 5

Essa série representa a transformada inversa de Laplace que procuramos. Infelizmente, não há uma forma fechada mais simples para essa série, então nossa resposta final ficará nessa forma de soma infinita.

Resposta

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