Encontre
, nos seguintes casos:
Passo 1
Então, temos que encontrar a transformada inversa de Laplace de
. Isso faz parte do conteúdo de Transformadas de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar a série de Taylor para a função arco-tangente e conhecer as transformadas inversas de funções simples.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função arco-tangente pode ser expandida em uma série de potências. A série de Taylor para
é:
Aqui, expandimos
como uma soma infinita de termos. Vamos substituir
por
para adaptar à nossa função
:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a transformada inversa de Laplace de cada termo dessa série. Sabemos que:
Isso significa que cada termo
terá uma transformada inversa específica. Aplicando isso à nossa série:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão. Notamos que
é o fatorial dos números pares e que a soma envolve potências de
alternadas por sinais. Então, temos:
Passo 5
Essa série representa a transformada inversa de Laplace que procuramos. Infelizmente, não há uma forma fechada mais simples para essa série, então nossa resposta final ficará nessa forma de soma infinita.
Resposta
Exercícios relacionados
No exercício a seguir, exprese
e
como funções de
e
utilizando a regra da cadeia, em seguida calcule
e
no ponto
dado.
<html><head></head><body><div>O período de duplicação é o tempo necessário para que uma grandeza que cresce exponencialmente dobrar seu valor. Calcule o período de duplicação de preços que estão subindo a uma taxa de <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.127ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“3.016ex” height=“1.824ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 1333 806”><title>5 %</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“35” d=“M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(500,0)”><path data-c=“25” d=“M465 605Q428 605 394 614T340 632T319 641Q332 608 332 548Q332 458 293 403T202 347Q145 347 101 402T56 548Q56 637 101 693T202 750Q241 750 272 719Q359 642 464 642Q580 642 650 732Q662 748 668 749Q670 750 673 750Q682 750 688 743T693 726Q178 -47 170 -52Q166 -56 160 -56Q147 -56 142 -45Q137 -36 142 -27Q143 -24 363 304Q469 462 525 546T581 630Q528 605 465 605ZM207 385Q235 385 263 427T292 548Q292 617 267 664T200 712Q193 712 186 709T167 698T147 668T134 615Q132 595 132 548V527Q132 436 165 403Q183 385 203 385H207ZM500 146Q500 234 544 290T647 347Q699 347 737 292T776 146T737 0T646 -56Q590 -56 545 0T500 146ZM651 -18Q679 -18 707 24T736 146Q736 215 711 262T644 309Q637 309 630 306T611 295T591 265T578 212Q577 200 577 146V124Q577 -18 647 -18H651Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ao ano.</div>
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</body></html>
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<div>$(a) Descubra onde ocorrem as temperaturas máxima e mínima na circunferência examinando as derivadas <span class="math-inline ">
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<div>$(a) Descubra onde ocorrem as temperaturas máxima e mínima na circunferência examinando as derivadas <span class="math-inline ">
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