No exercício a seguir, exprese partial wpartial u e partial wpartial v como funções de u e v utilizando a regra da cadeia, em seguida calcule partial wpartial u e partial zpartial v no ponto (u, v) dado.
(a) w=x y+y z+x z, x=u-v, y=u+v, z=u v,(u, v)=(12, 1)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. O exercício pede para a gente calcular as derivadas parciais de w = xy + yz + xz, x = u - v, y = u + v, z = uv em relação a e usando a regra da cadeia. A gente vai precisar trabalhar com funções de várias variáveis e aplicar um pouco de cálculo diferencial. As funções são dadas por:
E a gente precisa calcular e no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada parcial. Quando temos uma função com várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a mostra como muda quando a gente varia mantendo constante, e o mesmo para .

Passo 3

A regra da cadeia é essencial aqui. Ela nos ajuda a encontrar derivadas compostas. No nosso caso, depende de , e , que por sua vez dependem de e . Então, para encontrar , a gente vai derivar em relação a , e , e depois multiplicar pelas derivadas de , e em relação a .

Passo 4

Vamos calcular partial wpartial x = y + z , partial wpartial y = x + z e partial wpartial z = y + x :
partial xpartial u = 1, partial ypartial u = 1, partial zpartial u = v
Agora, vamos encontrar as derivadas de , e em relação a :

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para partial wpartial u = partial wpartial x cdot partial xpartial u + partial wpartial y cdot partial ypartial u + partial wpartial z cdot partial zpartial u :
partial wpartial u = (y + z)(1) + (x + z)(1) + (y + x)(v)
Substituindo:

Passo 6

Vamos agora calcular partial xpartial v = -1, partial ypartial v = 1, partial zpartial v = u da mesma forma. Primeiro, as derivadas de partial wpartial v = partial wpartial x cdot partial xpartial v + partial wpartial y cdot partial ypartial v + partial wpartial z cdot partial zpartial v , partial wpartial v = (y + z)(-1) + (x + z)(1) + (y + x)(u) e em relação a :
Então, aplicando a regra da cadeia:
Substituindo:

Passo 7

Agora, vamos substituir os valores de x = u - v = 12 - 1 = -12 e y = u + v = 12 + 1 = 32 nas expressões de z = u v = 12 times 1 = 12 , e :

Passo 8

Substituindo esses valores na expressão de partial wpartial u = (32 + 12)(1) + (-12 + 12)(1) + (32 + (-12))(1) :
partial wpartial u = 2 times 1 + 0 times 1 + 1 times 1 = 2 + 0 + 1 = 3
Simplificando:

Passo 9

Agora, substituindo os valores na expressão de partial wpartial v = (32 + 12)(-1) + (-12 + 12)(1) + (32 + (-12))(12) :
partial wpartial v = 2 times (-1) + 0 times 1 + 1 times 12 = -2 + 0 + 12 = -32
Simplificando:

Resposta

No ponto partial wpartial u = 3 e partial wpartial v = -32 , temos:

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