No exercício a seguir, exprese
e
como funções de
e
utilizando a regra da cadeia, em seguida calcule
e
no ponto
dado.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a gente tem aqui. O exercício pede para a gente calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia. A gente vai precisar trabalhar com funções de várias variáveis e aplicar um pouco de cálculo diferencial. As funções são dadas por:
E a gente precisa calcular
e
no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada parcial. Quando temos uma função com várias variáveis, como
, a derivada parcial em relação a
mostra como
muda quando a gente varia
mantendo
constante, e o mesmo para
.
Passo 3
A regra da cadeia é essencial aqui. Ela nos ajuda a encontrar derivadas compostas. No nosso caso,
depende de
,
e
, que por sua vez dependem de
e
. Então, para encontrar
, a gente vai derivar
em relação a
,
e
, e depois multiplicar pelas derivadas de
,
e
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular
,
e
:
Agora, vamos encontrar as derivadas de
,
e
em relação a
:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia para
:
Substituindo:
Passo 6
Vamos agora calcular
da mesma forma. Primeiro, as derivadas de
,
e
em relação a
:
Então, aplicando a regra da cadeia:
Substituindo:
Passo 7
Agora, vamos substituir os valores de
e
nas expressões de
,
e
:
Passo 8
Substituindo esses valores na expressão de
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, substituindo os valores na expressão de
:
Simplificando:
Resposta
No ponto
, temos: