Seja T(x, y) a temperatura no ponto (x, y) na circunferência x = cos(t) e y = sen(t), 0 <= t <= 2 pi e suponha que
a) Descubra onde ocorrem as temperaturas máxima e mínima na circunferência examinando as derivadas
$(a) Descubra onde ocorrem as temperaturas máxima e mínima na circunferência examinando as derivadas e e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função de temperatura que está definida em pontos da circunferência e , onde varia de a . A gente quer descobrir onde a temperatura atinge seus valores máximos e mínimos nessa circunferência. Para isso, vamos usar derivadas em relação ao parâmetro . Precisamos entender como a temperatura muda conforme nos movemos ao longo da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a temperatura em termos de . Como e , podemos escrever:
Isso significa que agora nossa função depende apenas de .

Passo 3

Agora, para encontrar onde a temperatura é máxima ou mínima, precisamos encontrar os pontos onde a derivada de em relação a , ou seja, , é igual a zero. Isso porque, nesses pontos, a temperatura pode estar atingindo um valor extremo (máximo ou mínimo).

Passo 4

Vamos calcular usando a regra da cadeia. A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
Sabemos que e . Além disso, e . Substituindo tudo isso na expressão temos:

Passo 5

Como e , podemos substituir essas expressões na derivada:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 6

Distribuindo os termos:
Veja que os termos e se cancelam:
Podemos fatorar o 4:
E sabemos que , então:

Passo 7

Para encontrar os pontos críticos (onde a temperatura pode ser máxima ou mínima), igualamos a zero:
Isso acontece quando , onde é um inteiro. Dividindo por 2:
Dentro do intervalo , os valores de são:

Passo 8

Agora, para determinar se cada ponto é um máximo ou um mínimo, calculamos a segunda derivada e analisamos o sinal dela nos pontos críticos.
Primeiro, vamos derivar :

Passo 9

Vamos avaliar nos valores de :
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :

Resposta

As temperaturas máximas ocorrem nos pontos correspondentes a e , e as temperaturas mínimas ocorrem em e na circunferência.

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<span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.797ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“18.07ex” height=“2.753ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -864.9 7986.8 1217”><title>F(s) = arctan(1/s)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D439” d=“M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 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</body></html>
No exercício a seguir, exprese e como funções de u e v utilizando a regra da cadeia, em seguida calcule e no ponto (u, v) dado.
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<div>$(a) Localize as temperaturas máxima e mínima na elipse examinando <span class="math-inline ">
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