Seja
a temperatura no ponto
na circunferência
e
,
e suponha que
$(a) Descubra onde ocorrem as temperaturas máxima e mínima na circunferência examinando as derivadas
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função de temperatura
que está definida em pontos da circunferência
e , onde
varia de
a
. A gente quer descobrir onde a temperatura atinge seus valores máximos e mínimos nessa circunferência. Para isso, vamos usar derivadas em relação ao parâmetro
. Precisamos entender como a temperatura muda conforme nos movemos ao longo da circunferência.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a temperatura
em termos de
. Como
e , podemos escrever:
Isso significa que agora nossa função
depende apenas de
.
Passo 3
Agora, para encontrar onde a temperatura é máxima ou mínima, precisamos encontrar os pontos onde a derivada de
em relação a
, ou seja,
, é igual a zero. Isso porque, nesses pontos, a temperatura pode estar atingindo um valor extremo (máximo ou mínimo).
Passo 4
Vamos calcular
usando a regra da cadeia. A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
Sabemos que
e
. Além disso, e
. Substituindo tudo isso na expressão temos:
Passo 5
Como
e , podemos substituir essas expressões na derivada:
Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 6
Distribuindo os termos:
Veja que os termos e se cancelam:
Podemos fatorar o 4:
E sabemos que , então:
Passo 7
Para encontrar os pontos críticos (onde a temperatura pode ser máxima ou mínima), igualamos
a zero:
Isso acontece quando
, onde
é um inteiro. Dividindo por 2:
Dentro do intervalo
, os valores de
são:
Passo 8
Agora, para determinar se cada ponto é um máximo ou um mínimo, calculamos a segunda derivada
e analisamos o sinal dela nos pontos críticos.
Primeiro, vamos derivar
:
Passo 9
Vamos avaliar
nos valores de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Resposta
As temperaturas máximas ocorrem nos pontos correspondentes a
e
, e as temperaturas mínimas ocorrem em
e
na circunferência.