Seja T(x, y) a temperatura no ponto (x, y) na circunferência x=cos t e y=sen t, 0 <= t <= 2 pi e suponha que
partial Tpartial x=8 x-4 y, partial Tpartial y=8 y-4 x
$(a) Descubra onde ocorrem as temperaturas máxima e mínima na circunferência examinando as derivadas (a) Descubra onde ocorrem as temperaturas máxima e mínima na circunferência examinando as derivadas e e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função de temperatura que está definida em pontos da circunferência e , onde varia de a . A gente quer descobrir onde a temperatura atinge seus valores máximos e mínimos nessa circunferência. Para isso, vamos usar derivadas em relação ao parâmetro . Precisamos entender como a temperatura muda conforme nos movemos ao longo da circunferência.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a temperatura T(t) = T(cos t, sen t) em termos de . Como e , podemos escrever:
Isso significa que agora nossa função depende apenas de .

Passo 3

Agora, para encontrar onde a temperatura é máxima ou mínima, precisamos encontrar os pontos onde a derivada de em relação a , ou seja, , é igual a zero. Isso porque, nesses pontos, a temperatura pode estar atingindo um valor extremo (máximo ou mínimo).

Passo 4

Vamos calcular dTdt = partial Tpartial x cdot dxdt + partial Tpartial y cdot dydt usando a regra da cadeia. A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
dTdt = (8x - 4y)(- sen t) + (8y - 4x)(cos t)
Sabemos que e . Além disso, e . Substituindo tudo isso na expressão temos:

Passo 5

Como dTdt = [8cos t - 4sen t](-sen t) + [8sen t - 4cos t](cos t) e , podemos substituir essas expressões na derivada:
Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 6

Distribuindo os termos:
Veja que os termos e se cancelam:
Podemos fatorar o 4:
E sabemos que , então:
dTdt = -8cos t sen t + 4sen^2 t + 8sen t cos t - 4cos^2 t

Passo 7

Para encontrar os pontos críticos (onde a temperatura pode ser máxima ou mínima), igualamos -4cos 2t = 0 implies cos 2t = 0 a zero:
t = pi4 + kpi2
Isso acontece quando t = pi4, 3pi4, 5pi4, 7pi4 , onde é um inteiro. Dividindo por 2:
Dentro do intervalo , os valores de são:

Passo 8

Agora, para determinar se cada ponto é um máximo ou um mínimo, calculamos a segunda derivada d^2Tdt^2 = 8sen 2t e analisamos o sinal dela nos pontos críticos.
Primeiro, vamos derivar :

Passo 9

Vamos avaliar d^2Tdt^2 = 8sen (pi2) = 8 cdot 1 = 8 > 0 implies Mínimo nos valores de d^2Tdt^2 = 8sen (3pi2) = 8 cdot (-1) = -8 < 0 implies Máximo :
  1. Para d^2Tdt^2 = 8sen (5pi2) = 8 cdot 1 = 8 > 0 implies Mínimo :
  2. Para d^2Tdt^2 = 8sen (7pi2) = 8 cdot (-1) = -8 < 0 implies Máximo :
  3. Para :
  4. Para :

Resposta

As temperaturas máximas ocorrem nos pontos correspondentes a e , e as temperaturas mínimas ocorrem em e na circunferência.

Exercícios relacionados