Encontre de modo que as funções abaixo sejam contínuas:
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Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o valor de de forma que a função
seja contínua. Isso está dentro do conteúdo de limites e continuidade de funções. Para garantir a continuidade em , precisamos que o limite de quando se aproxima de 0 seja igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0:
Para resolver isso, podemos usar a regra de L’Hôpital, que é útil quando temos uma forma indeterminada como .

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Então, o limite fica:

Passo 4

Agora que sabemos que o limite de quando se aproxima de 0 é 0, para que a função seja contínua em , precisamos que .

Resposta

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Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:
Calcule os seguintes limites, caso existam:
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Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta:
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(1)