Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta: sumn=2^infty raizn ln (n+1n)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste de Comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o termo geral da série: ln(n+1n) = ln(1 + 1n) . Podemos simplificar essa expressão usando propriedades dos logaritmos.
Sabemos que:

Passo 3

Agora, vamos aproximar o logaritmo para valores grandes de ln(1 + x) approx x quando x to 0 . Quando ln(1 + 1n) approx 1n é grande, é pequeno, e podemos usar a aproximação:
Então,

Passo 4

Substituindo essa aproximação de volta no termo geral:
raizn ln(n+1n) approx raizn cdot 1n = 1raizn

Passo 5

Agora, comparamos a nossa série original com a série . Sabemos que a série converge se e diverge se . No nosso caso, , então a série diverge.

Passo 6

Vamos usar o Teste de Comparação Limitada (Teste do Límite da Razão) para confirmar a convergência ou divergência da série original. Calculamos o limite:
limn to infty raizn ln(n+1n)1raizn = limn to infty n ln(1 + 1n)
Usando a aproximação limn to infty n cdot 1n = 1 , temos:
Como o limite é finito e diferente de zero, as séries e têm o mesmo comportamento em termos de convergência.

Resposta

A série diverge.

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