Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e testes de convergência, como o Teste de Comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor o termo geral da série:
. Podemos simplificar essa expressão usando propriedades dos logaritmos.
Sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos aproximar o logaritmo para valores grandes de
. Quando
é grande,
é pequeno, e podemos usar a aproximação:
Então,
Passo 4
Substituindo essa aproximação de volta no termo geral:
Passo 5
Agora, comparamos a nossa série original com a série
. Sabemos que a série
converge se
e diverge se
. No nosso caso,
, então a série
diverge.
Passo 6
Vamos usar o Teste de Comparação Limitada (Teste do Límite da Razão) para confirmar a convergência ou divergência da série original. Calculamos o limite:
Usando a aproximação
, temos:
Como o limite é finito e diferente de zero, as séries
e
têm o mesmo comportamento em termos de convergência.
Resposta
A série
diverge.
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de modo que as funções abaixo sejam contínuas:
©
©
Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:
Calcule os seguintes limites, caso existam:
(1)
(1)
2
Para cada uma das funções abaixo, encontre os limites laterais
e
e forneça, caso exista, o valor de
:
(a)
Para cada uma das funções
(a)