Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Integral para descobrir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse teste e calcular uma integral relacionada.

Passo 2

Primeiro, o que é o Teste da Integral? É um método que nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de séries infinitas comparando-as com integrais. A ideia é verificar a integral da função contínua, positiva e decrescente que define os termos da série. Se a integral converge, a série também converge; se a integral diverge, a série diverge.

Passo 3

Vamos conferir se a função atende aos critérios do teste:
  1. Positiva: Para , é positivo, então é positiva.
  2. Contínua: A função é contínua para .
  3. Decrescente: Calculando a derivada de , vemos que ela é negativa para , o que mostra que a função é decrescente nesse intervalo.
Como a série começa em , que é maior que , podemos aplicar o teste sem problemas.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral correspondente:
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição . Então, , o que simplifica nossa integral para:

Passo 5

Calculando a integral:
Como a integral resulta em um valor finito ( ), isso significa que a integral converge.

Passo 6

De acordo com o Teste da Integral, já que a integral correspondente converge, a série também converge.

Resposta

A série converge.

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Encontre de modo que as funções abaixo sejam contínuas:
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Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta: