Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o Teste da Integral para descobrir se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse teste e calcular uma integral relacionada.
Passo 2
Primeiro, o que é o Teste da Integral? É um método que nos ajuda a determinar a convergência ou divergência de séries infinitas comparando-as com integrais. A ideia é verificar a integral da função contínua, positiva e decrescente que define os termos da série. Se a integral converge, a série também converge; se a integral diverge, a série diverge.
Passo 3
Vamos conferir se a função
atende aos critérios do teste:
- Positiva: Para
, é positivo, então é positiva. - Contínua: A função é contínua para
. - Decrescente: Calculando a derivada de
, vemos que ela é negativa para , o que mostra que a função é decrescente nesse intervalo.
Como a série começa em
, que é maior que
, podemos aplicar o teste sem problemas.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral correspondente:
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição
. Então,
, o que simplifica nossa integral para:
Passo 5
Calculando a integral:
Como a integral resulta em um valor finito (
), isso significa que a integral converge.
Passo 6
De acordo com o Teste da Integral, já que a integral correspondente converge, a série
também converge.
Resposta
A série
converge.
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Encontre
de modo que as funções abaixo sejam contínuas:
©
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Verifique se as seguintes séries são convergentes ou divergentes? Justifique sua resposta: