Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os coeficientes de uma série de senos que representa uma função por partes definida em dois intervalos: de a onde a função é , e de a onde a função é .
Vamos precisar usar a teoria das séries de Fourier, especificamente a expansão em série de senos, já que a função é definida em um intervalo finito e não é necessariamente par ou ímpar. Isso envolve calcular integrais para determinar os coeficientes .
Passo 2
Primeiro, lembre-se que, para uma função definida no intervalo , a série de senos é dada por:
No nosso caso, e os senos aparecem com múltiplos ímpares, ou seja, . Então, a série fica:
Passo 3
Para encontrar os coeficientes , usamos a fórmula da série de Fourier para os coeficientes de seno:
Substituindo :
Passo 4
A função é definida por partes, então vamos dividir a integral em dois intervalos:
Passo 5
Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral de a :
Aqui, usamos a técnica de integração por partes, onde e .