Encontre b1, b2, b3, ldots tais que sumn=1^infty bn sen((2 n-1) pi x2)=llx, & 0 <= x <= 1 2-x, & 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os coeficientes de uma série de senos que representa uma função por partes definida em dois intervalos: de a onde a função é , e de a onde a função é .
Vamos precisar usar a teoria das séries de Fourier, especificamente a expansão em série de senos, já que a função é definida em um intervalo finito e não é necessariamente par ou ímpar. Isso envolve calcular integrais para determinar os coeficientes .

Passo 2

Primeiro, lembre-se que, para uma função f(x) = sumn=1^infty bn sin( npi xL ) definida no intervalo f(x) = sumk=1^infty bk sin( (2k - 1)pi x2 ) , a série de senos é dada por:
No nosso caso, e os senos aparecem com múltiplos ímpares, ou seja, . Então, a série fica:

Passo 3

Para encontrar os coeficientes bk = 2L integral0^L f(x) sin( (2k - 1)pi x2 ) dx , usamos a fórmula da série de Fourier para os coeficientes de seno:
bk = 11 integral0^2 f(x) sin( (2k - 1)pi x2 ) dx = integral0^2 f(x) sin( (2k - 1)pi x2 ) dx
Substituindo :

Passo 4

A função bk = integral0^1 x sin( (2k - 1)pi x2 ) dx + integral1^2 (2 - x) sin( (2k - 1)pi x2 ) dx é definida por partes, então vamos dividir a integral em dois intervalos:

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente. Primeiro, a integral de I1 = integral0^1 x sin( (2k - 1)pi x2 ) dx a :
Aqui, usamos a técnica de integração por partes, onde e .

Passo 6

Aplicando a integração por partes:
u = x Rightarrow du = dx
dv = sin( (2k - 1)pi x2 ) dx Rightarrow v = -2(2k - 1)pi cos( (2k - 1)pi x2 )
Então:
I1 = -2x(2k - 1)pi cos( (2k - 1)pi x2 ) g|0^1 + 2(2k - 1)pi integral0^1 cos( (2k - 1)pi x2 ) dx

Passo 7

Avaliaremos os limites:
Para -2 cdot 1(2k - 1)pi cos( (2k - 1)pi cdot 12 ) = -2(2k - 1)pi cos( (2k - 1)pi2 ) :
-2 cdot 0(2k - 1)pi cos( 0 ) = 0
Para -2(2k - 1)pi cos( (2k - 1)pi2 ) :
Então, o primeiro termo fica:

Passo 8

Agora, calculamos a integral restante:
2(2k - 1)pi integral0^1 cos( (2k - 1)pi x2 ) dx = 2(2k - 1)pi cdot 2(2k - 1)pi sin( (2k - 1)pi x2 ) g|0^1
Avalie os limites:
Para sin( (2k - 1)pi2 ) :
sin(0) = 0
Para 4(2k - 1)^2 pi^2 sin( (2k - 1)pi2 ) :
Então, a integral fica:

Passo 9

Reunindo tudo para I1 = -2(2k - 1)pi cos( (2k - 1)pi2 ) + 4(2k - 1)^2 pi^2 sin( (2k - 1)pi2 ) :
I1 = 4(2k - 1)^2 pi^2 (-1)^k-1
Observando que e , simplificamos:

Passo 10

Agora, vamos resolver a segunda integral de I2 = integral1^2 (2 - x) sin( (2k - 1)pi x2 ) dx a I2 = integral0^1 u sin( (2k - 1)pi (2 - u)2 ) du :
sin( (2k - 1)pi cdot 22 - (2k - 1)pi u2 ) = sin( (2k - 1)pi - (2k - 1)pi u2 )
Fazendo a substituição sin( (2k - 1)pi - (2k - 1)pi u2 ) = -(-1)^k sin( (2k - 1)pi u2 ) , I2 = -(-1)^k integral0^1 u sin( (2k - 1)pi u2 ) du , quando I2 = -(-1)^k cdot 4(2k - 1)^2 pi^2 (-1)^k-1 = 4(2k - 1)^2 pi^2 , ; quando , . A integral fica:
Simplificando o argumento do seno:
Usando a identidade , e sabendo que e , temos:
Portanto, a integral se torna:
Que é semelhante a , então seguindo os mesmos passos, obtemos:

Passo 11

Agora, somamos bk = I1 + I2 = 4(2k - 1)^2 pi^2 (-1)^k-1 + 4(2k - 1)^2 pi^2 = 4(2k - 1)^2 pi^2 [(-1)^k-1 + 1] e :

Passo 12

Observando , vemos que:
  • Se for ímpar,
  • Se for par,
Portanto, os coeficientes são zero para ímpar e para par.

Resposta

Os coeficientes bn = 8(2n - 1)^2 pi^2, & se n é par 0, & se n é ímpar são dados por:
ééí

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