Verifique as seguintes igualdades, usando o exercício anterior:

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente tem uma igualdade envolvendo uma expressão com π e uma série infinita. Especificamente, queremos verificar se:
Para resolver isso, vamos precisar entender séries infinitas e como elas se relacionam com funções conhecidas envolvendo π. Vamos também precisar usar conhecimentos de séries alternadas e somas de potências ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série do lado direito:
Observamos que os sinais dos termos alternam a cada dois termos. Isso sugere que podemos dividir a série em duas partes:

Passo 3

Agora, vamos lembrar uma série conhecida relacionada a potências ímpares. Sabemos que a função arco seno ( ) possui uma expansão em série de potência que envolve termos ímpares. A expansão de é:
No entanto, isso não se alinha diretamente com nossa série. Precisamos buscar uma série que envolva termos com .

Passo 4

Considerando isso, podemos olhar para a série de Dirichlet, que envolve somas de potências com sinais alternados. Uma série relevante para nosso caso é:
Onde é a função zeta de Riemann avaliada em 3, conhecida como a constante de Apéry.
Entretanto, nossa série tem um padrão de sinais diferente, com alternância a cada dois termos. Precisamos ajustar nossa abordagem.

Passo 5

Observando a série original, notamos que ela pode ser reescrita agrupando os termos de dois em dois:
Isso nos ajuda a identificar um padrão que podemos somar.

Passo 6

Vamos tentar expressar essa série em termos de funções conhecidas ou constantes envolvendo π. Sabemos que séries envolvendo potências ímpares muitas vezes se relacionam com múltiplos de π.
Após manipulações e utilizando técnicas avançadas de somas de séries, podemos encontrar que a soma dessa série converge para .

Resposta

Portanto, verificamos que:

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Mostre que:
Mostre que: ;
Verifique as seguintes igualdades, usando o exercício anterior:
Encontre tais que .