Resolver as seguintes equações ( 3 ㅇ caso):
.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A equação que temos é uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo envolvido aqui é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
Para isso, assumimos uma solução do tipo e substituímos na equação para encontrar os valores de .

Passo 3

Substituindo na equação homogênea:
Podemos fatorar :
Como nunca é zero, temos que:
Então, as soluções da equação homogênea são:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é , vamos supor uma solução particular da forma:
onde e são constantes que precisamos determinar.

Passo 5

Calculando as derivadas de :
Substituindo e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:

Passo 6

Finalmente, a solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é:
onde e são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados

Encontre tais que .
Verifique as seguintes igualdades, usando o exercício anterior:
Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
.
Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
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