Resolver as seguintes equações ( 3 ㅇ caso):
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A equação que temos é uma equação diferencial de segunda ordem:
O conteúdo envolvido aqui é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Para resolver essa equação, vamos precisar encontrar a solução geral, que inclui a solução da equação homogênea e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
Para isso, assumimos uma solução do tipo
e substituímos na equação para encontrar os valores de
.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Podemos fatorar
:
Como
nunca é zero, temos que:
Então, as soluções da equação homogênea são:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa:
Como o lado direito é
, vamos supor uma solução particular da forma:
onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 5
Calculando as derivadas de
:
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Então, a solução particular é:
Passo 6
Finalmente, a solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Encontre
tais que
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Verifique as seguintes igualdades, usando o exercício anterior:
Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
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Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
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