Verifique as seguintes igualdades, usando o exercício anterior:
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente verificar a igualdade
. Isso envolve a matéria de séries infinitas e, especificamente, a soma dos inversos dos quadrados dos números naturais. Para resolver, vamos precisar entender como somar uma série infinita e aplicar um pouco de cálculo para mostrar que essa soma realmente dá
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série infinita. Uma série é a soma de termos que seguem uma certa regra. No nosso caso, a série é
, onde cada termo é o inverso do quadrado de um número natural. Essa série é conhecida como série de Basel.
Passo 3
Para verificar a igualdade, precisamos calcular a soma dessa série. Já foi demonstrado por Euler que a soma da série infinita
é igual a
. Ou seja,
.
Passo 4
A prova de Euler para essa igualdade envolve técnicas avançadas de análise matemática, como expansão em séries de potências e uso de séries de Fourier. No entanto, para nosso propósito de verificar a igualdade, podemos aceitar o resultado conhecido de que a soma dos inversos dos quadrados dos números naturais realmente converge para
.
Resposta
A igualdade
está verificada.
Exercícios relacionados
Verifique as seguintes igualdades, usando o exercício anterior:
Mostre que:
Encontre
tais que
.
Resolver as seguintes equações ( 3 ㅇ caso):
.