(b) Obtenha uma aproximação para
. Faça isso integrando o resultado do item (a), já que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para aproximar a função
integrando o resultado do item (a). O conteúdo envolve cálculo de integrais e séries de potências. Para isso, vamos precisar saber como expandir funções em séries e como integrar cada termo dessa série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
pode ser representado como uma integral:
Então, nossa tarefa é encontrar uma aproximação para essa integral.
Passo 3
Vamos expandir a função
em uma série de potências. Sabemos que para
, podemos usar a expansão de uma série geométrica:
Isso nos dá uma série infinita que representa
.
Passo 4
Agora, vamos integrar essa série termo a termo de 0 até
:
Aqui, usamos a propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais.
Passo 5
Vamos calcular a integral de cada termo da série:
Então, substituindo de volta na série, temos:
Resposta
Uma aproximação para
é dada pela série:
Exercícios relacionados
(opcional) Para
, encontre a aproximação por polinômio de Taylor que garante um erro menor do que
para todo
. Usando esta aproximação, escreva um programa que calcule
. Compare o resultado de sua função com o resultado da função
da linguagem de programação que você utiliza.
Encontre um limitante superior para o erro ao aproximar
, para
, pelo polinômio de Taylor de grau 3 expandido em torno de
.
Um tambor cilíndrico, de 2 metros de altura e base circular de raio 1 metro, está cheio de água. Se fizermos um furo no fundo e em 30 minutos a água cair pela metade, determine a altura
da água dentro do tambor em função do tempo. Em quanto tempo o tanque esvaziará?
Se uma aplicação rende juros de
ao mês (continuamente). Determine o saldo em função do tempo e o saldo após 12 meses, sendo o saldo inicial de
. R: