(b) Obtenha uma aproximação para g(x)=tan ^-1(x). Faça isso integrando o resultado do item (a), já que:
tan ^-1(x)=integral0^x f(t) d t=integral0^x 11+t^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para aproximar a função integrando o resultado do item (a). O conteúdo envolve cálculo de integrais e séries de potências. Para isso, vamos precisar saber como expandir funções em séries e como integrar cada termo dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tan^-1(x) = integral0^x 11 + t^2 , dt pode ser representado como uma integral:
Então, nossa tarefa é encontrar uma aproximação para essa integral.

Passo 3

Vamos expandir a função 11 + t^2 = 11 - (-t^2) = sumn=0^infty (-1)^n t^2n em uma série de potências. Sabemos que para , podemos usar a expansão de uma série geométrica:
Isso nos dá uma série infinita que representa .

Passo 4

Agora, vamos integrar essa série termo a termo de 0 até tan^-1(x) = integral0^x ( sumn=0^infty (-1)^n t^2n ) dt = sumn=0^infty (-1)^n integral0^x t^2n , dt :
Aqui, usamos a propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais.

Passo 5

Vamos calcular a integral de cada termo da série:
integral0^x t^2n , dt = [ t^2n+12n+1 ]0^x = x^2n+12n+1
Então, substituindo de volta na série, temos:
tan^-1(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1

Resposta

Uma aproximação para tan^-1(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n+12n+1 é dada pela série:

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