(b) Obtenha uma aproximação para . Faça isso integrando o resultado do item (a), já que:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para aproximar a função integrando o resultado do item (a). O conteúdo envolve cálculo de integrais e séries de potências. Para isso, vamos precisar saber como expandir funções em séries e como integrar cada termo dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pode ser representado como uma integral:
Então, nossa tarefa é encontrar uma aproximação para essa integral.

Passo 3

Vamos expandir a função em uma série de potências. Sabemos que para , podemos usar a expansão de uma série geométrica:
Isso nos dá uma série infinita que representa .

Passo 4

Agora, vamos integrar essa série termo a termo de 0 até :
Aqui, usamos a propriedade que a integral de uma soma é a soma das integrais.

Passo 5

Vamos calcular a integral de cada termo da série:
Então, substituindo de volta na série, temos:

Resposta

Uma aproximação para é dada pela série:

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(opcional) Para , encontre a aproximação por polinômio de Taylor que garante um erro menor do que para todo . Usando esta aproximação, escreva um programa que calcule . Compare o resultado de sua função com o resultado da função da linguagem de programação que você utiliza.
Encontre um limitante superior para o erro ao aproximar , para , pelo polinômio de Taylor de grau 3 expandido em torno de .
Um tambor cilíndrico, de 2 metros de altura e base circular de raio 1 metro, está cheio de água. Se fizermos um furo no fundo e em 30 minutos a água cair pela metade, determine a altura da água dentro do tambor em função do tempo. Em quanto tempo o tanque esvaziará?
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