Resolva os problemas de valores iniciais (PVIs):
© y'' + 4y'(t) + 5y(t) = 0, y(0) = -3, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente tem a equação com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes, usando a equação característica para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial dada. A equação característica para uma equação da forma é . No nosso caso, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, as raízes são complexas: e .

Passo 4

Quando as raízes são complexas, ou seja, da forma , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, e , então:

Passo 5

Agora, vamos usar as condições iniciais para determinar os valores das constantes e .
Primeiro, aplicamos :
Então, .

Passo 6

Em seguida, precisamos encontrar e aplicar a condição .
Primeiro, derivamos :
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Agora, aplicamos :
Então, .

Passo 7

Com os valores de e encontrados, a solução particular fica:

Resposta

A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é:

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