Resolva os problemas de valores iniciais (PVIs):
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema de equação diferencial de segunda ordem. A gente tem a equação
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes, usando a equação característica para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica da equação diferencial dada. A equação característica para uma equação da forma
é
. No nosso caso, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Então, as raízes são complexas:
e
.
Passo 4
Quando as raízes são complexas, ou seja, da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
, então:
Passo 5
Agora, vamos usar as condições iniciais para determinar os valores das constantes
e
.
Primeiro, aplicamos
:
Então,
.
Passo 6
Em seguida, precisamos encontrar
e aplicar a condição
.
Primeiro, derivamos
:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Agora, aplicamos
:
Então,
.
Passo 7
Com os valores de
e
encontrados, a solução particular fica:
Resposta
A solução da equação diferencial com as condições iniciais dadas é: