Encontre o limite ou demonstre que não existe.
e) lim x infty x^4-3 x^2+xx^2+3 x+2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que encontrar o limite quando tende ao infinito da função . O conteúdo aqui envolve limites no infinito e o comportamento de funções racionais, que são frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos precisar analisar os graus dos polinômios no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os graus dos polinômios no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é (grau 4), e no denominador, o termo de maior grau é (grau 2). Geralmente, quando vai para o infinito, os termos de maior grau dominam o comportamento da função.

Passo 3

Agora, para simplificar e ver o comportamento da função, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador por x^4 - 3x^2 + xx^2 + 3x + 2 = x^4/x^2 - 3x^2/x^2 + x/x^2x^2/x^2 + 3x/x^2 + 2/x^2 = x^2 - 3 + 1x1 + 3x + 2x^2 , que é o maior grau do denominador:

Passo 4

Agora vamos analisar o que acontece quando x^2 - 3 + 01 + 0 + 0 = x^2 - 31 = x^2 - 3 tende ao infinito. Note que e vão se aproximar de zero. Portanto, a expressão simplificada fica:

Passo 5

Finalmente, ao calcular o limite de quando tende ao infinito, vemos que cresce sem limites, ou seja, vai para . Então, o limite da função original também tende para .

Resposta

O limite é .

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