Encontre o limite ou demonstre que não existe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve logaritmos. O enunciado é para encontrar o limite da expressão quando tende ao infinito. A matéria aqui é cálculo de limites usando propriedades dos logaritmos e comportamento de funções quando fica bem grande. Vamos precisar saber como simplificar expressões logarítmicas e analisar o crescimento das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Então, podemos reescrever a expressão do limite assim:

Passo 3

Agora, nosso limite fica:
Para facilitar, vamos analisar o limite da fração dentro do logaritmo:

Passo 4

Observamos que, quando tende ao infinito, os termos de maior grau em vão dominar. No numerador, o termo cresce mais rápido que 1, e no denominador, o termo cresce mais rápido que 1. Então, podemos simplificar a fração dividindo todos os termos por :

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando tende ao infinito. Os termos e vão para 0, então:
Isso significa que a fração tende ao infinito.

Passo 6

Então, voltando ao limite original com o logaritmo:
E sabemos que .

Resposta

O limite é igual a .

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