Encontre o limite ou demonstre que não existe.
lim x infty[ln (1+x^2)-ln (1+2 x)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve logaritmos. O enunciado é para encontrar o limite da expressão ln(1 + x^2) - ln(1 + 2x) quando x tende ao infinito. A matéria aqui é cálculo de limites usando propriedades dos logaritmos e comportamento de funções quando x fica bem grande. Vamos precisar saber como simplificar expressões logarítmicas e analisar o crescimento das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que ln(a) - ln(b) = ln(ab). Então, podemos reescrever a expressão do limite assim:
ln(1 + x^2) - ln(1 + 2x) = ln(1 + x^21 + 2x)

Passo 3

Agora, nosso limite fica:
limx infty ln(1 + x^21 + 2x)
Para facilitar, vamos analisar o limite da fração dentro do logaritmo:
limx infty 1 + x^21 + 2x

Passo 4

Observamos que, quando x tende ao infinito, os termos de maior grau em x vão dominar. No numerador, o termo x^2 cresce mais rápido que 1, e no denominador, o termo 2x cresce mais rápido que 1. Então, podemos simplificar a fração dividindo todos os termos por x^2:
1 + x^21 + 2x = 1x^2 + 11x^2 + 2x

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando x tende ao infinito. Os termos 1x^2 e 2x vão para 0, então:
0 + 10 + 0 = 10
Isso significa que a fração tende ao infinito.

Passo 6

Então, voltando ao limite original com o logaritmo:
limx infty ln(1 + x^21 + 2x) = ln(infty)
E sabemos que ln(infty) = infty.

Resposta

O limite é igual a +infty.

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