Encontre o limite ou demonstre que não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve logaritmos. O enunciado é para encontrar o limite da expressão
quando
tende ao infinito. A matéria aqui é cálculo de limites usando propriedades dos logaritmos e comportamento de funções quando
fica bem grande. Vamos precisar saber como simplificar expressões logarítmicas e analisar o crescimento das funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
. Então, podemos reescrever a expressão do limite assim:
Passo 3
Agora, nosso limite fica:
Para facilitar, vamos analisar o limite da fração dentro do logaritmo:
Passo 4
Observamos que, quando
tende ao infinito, os termos de maior grau em
vão dominar. No numerador, o termo
cresce mais rápido que 1, e no denominador, o termo
cresce mais rápido que 1. Então, podemos simplificar a fração dividindo todos os termos por
:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento dessa expressão quando
tende ao infinito. Os termos
e
vão para 0, então:
Isso significa que a fração tende ao infinito.
Passo 6
Então, voltando ao limite original com o logaritmo:
E sabemos que
.
Resposta
O limite é igual a
.