Encontre o limite ou demonstre que não existe.
lim x 0^+ arctan (e^x)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite de arctan(e^x) quando x se aproxima de 0 pela direita. Isso envolve conceitos de limites, funções exponenciais e a função arco-tangente. Para resolver, vamos analisar o comportamento de e^x próximo de x=0 e então aplicar a função arco-tangente nesse resultado.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo e^x quando x se aproxima de 0^+. A função exponencial e^x é contínua em todos os reais, e sabemos que e^0 = 1. Portanto, quando x tende a 0 pela direita, e^x se aproxima de 1.

Passo 3

Agora, substituímos esse resultado na função arco-tangente. Sabemos que arctan(1) é um valor conhecido. A função arctan(y) nos dá o ângulo cujo tangente é y. Como tan(pi4) = 1, temos que arctan(1) = pi4.

Resposta

Portanto, o limite é pi4.

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