Encontre o limite ou demostre que não existe
lim x -infty raizx^2-2 x+2x+1

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que encontrar o limite quando vai para menos infinito da expressão . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites no infinito e manipulação algébrica de expressões com raízes quadradas. Vamos precisar lembrar como simplificar expressões que envolvem elevado ao quadrado e dividir por termos lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão dentro da raiz: . Quando vai para menos infinito, os termos com vão dominar os demais. Então, a gente pode fatorar dentro da raiz para facilitar a simplificação.

Passo 3

Fatorando raizx^2 - 2x + 2 = raizx^2(1 - 2x + 2x^2) = |x|raiz1 - 2x + 2x^2 dentro da raiz, temos:
raizx^2 - 2x + 2 = -xraiz1 - 2x + 2x^2
Como está indo para menos infinito, (porque é negativo). Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos substituir essa simplificação na expressão original do limite:
raizx^2 - 2x + 2x + 1 = -xraiz1 - 2x + 2x^2x + 1
Podemos fatorar x + 1 = x(1 + 1x) do denominador também:
-xraiz1 - 2x + 2x^2x(1 + 1x) = -raiz1 - 2x + 2x^21 + 1x
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de cada parte quando -raiz1 - 0 + 01 + 0 = -raiz11 = -11 = -1 vai para menos infinito:
  • e vão para 0.
  • também vai para 0.
Então, a expressão simplifica para:

Resposta

O limite é igual a .

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