Seja
Esboce o gráfico da função e encontre:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma função chamada que muda dependendo do valor de . O objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa função e descobrir qual é o limite de quando se aproxima de 2. Para resolver isso, vamos precisar entender como funcionam funções definidas por partes e como calcular limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada parte da função :
Isso significa que o valor de muda dependendo de onde está na linha dos números.

Passo 3

Vamos esboçar o gráfico da função :
  1. Para :
    • É uma linha reta com inclinação 1, passando pela origem.
  2. Para :
    • Um ponto específico em com valor 3.
  3. Para :
    • Uma parabola invertida começando em até .
  4. Para :
    • Outra linha reta com inclinação 1, começando em .

Passo 4

Agora, vamos encontrar o limite de quando se aproxima de 2, ou seja, .
Primeiro, precisamos entender o que acontece com (que assumimos ser ) à medida que se aproxima de 2 tanto pela esquerda quanto pela direita.

Passo 5

Limite pela esquerda ( ):
Para próximo a 2, mas menor que 2, usamos a parte da função .
Limite pela direita ( ):
Para próximo a 2, mas maior que 2, usamos a parte da função .

Passo 6

Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( e respectivamente), isso significa que o limite geral de quando se aproxima de 2 não existe.

Resposta

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Seja
Esboce o gráfico da função e encontre:
Sabendo que e , determine os limites abaixo, caso existam:
Encontre o limite ou demostre que não existe
Caso existam, encontre as equações das assintotas das seguintes funções: