Prove que se e , então .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que se e , então . Estamos trabalhando com o conceito de limites na matéria de Cálculo. Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos limites, especialmente a que trata do limite do produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, sabemos que . Isso significa que à medida que se aproxima de , os valores de se aproximam de .

Passo 3

Segundo, temos que . Isso indica que à medida que se aproxima de , os valores de se aproximam de .

Passo 4

Agora, queremos encontrar o limite do produto dessas duas funções, ou seja, . Para isso, usamos a propriedade dos limites que afirma que o limite do produto é igual ao produto dos limites, desde que ambos os limites existam.

Passo 5

Aplicando essa propriedade, temos:
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 6

Multiplicando por , obtemos .

Resposta

Exercícios relacionados

Prove, usando a definição, que:
Seja
b) Determine utilizando as propriedades de limites (note que não pode aplicar diretamente a propriedade do quociente (divisão) do limite. Por que?). Portanto, para resolver precisa primeiro simplificar a função.
Encontre o limite se existir:
A seguinte equação diferencial aparece em trabalhos que estudam a acumulação de nebulosa no sistema solar:
(a) Determine a região do plano onde é possível garantir que esta equação possui soluçōes únicas.