Prove que se lim x b f(x)=L e lim x b g(x)=0, então lim x b(f(x) g(x))=0.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que se lim x b f(x)=L e lim x b g(x)=0, então lim x b(f(x) g(x))=0. Estamos trabalhando com o conceito de limites na matéria de Cálculo. Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos limites, especialmente a que trata do limite do produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, sabemos que lim x b f(x)=L. Isso significa que à medida que x se aproxima de b, os valores de f(x) se aproximam de L.

Passo 3

Segundo, temos que lim x b g(x)=0. Isso indica que à medida que x se aproxima de b, os valores de g(x) se aproximam de 0.

Passo 4

Agora, queremos encontrar o limite do produto dessas duas funções, ou seja, lim x b(f(x) g(x)). Para isso, usamos a propriedade dos limites que afirma que o limite do produto é igual ao produto dos limites, desde que ambos os limites existam.

Passo 5

Aplicando essa propriedade, temos:
lim x b(f(x) g(x)) = ( lim x b f(x) ) ( lim x b g(x) )
Substituindo os valores conhecidos:
= L times 0

Passo 6

Multiplicando L por 0, obtemos 0.

Resposta

lim x b(f(x) g(x))=0

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