Prove que se
e
, então
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que se
e
, então
. Estamos trabalhando com o conceito de limites na matéria de Cálculo. Para resolver isso, vamos usar as propriedades dos limites, especialmente a que trata do limite do produto de duas funções.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
. Isso significa que à medida que
se aproxima de
, os valores de
se aproximam de
.
Passo 3
Segundo, temos que
. Isso indica que à medida que
se aproxima de
, os valores de
se aproximam de
.
Passo 4
Agora, queremos encontrar o limite do produto dessas duas funções, ou seja,
. Para isso, usamos a propriedade dos limites que afirma que o limite do produto é igual ao produto dos limites, desde que ambos os limites existam.
Passo 5
Aplicando essa propriedade, temos:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 6
Multiplicando
por
, obtemos
.
Resposta
Exercícios relacionados
Prove, usando a definição, que:
Seja
b) Determine utilizando as propriedades de limites (note que não pode aplicar diretamente a propriedade do quociente (divisão) do limite. Por que?). Portanto, para resolver precisa primeiro simplificar a função.
b) Determine
Encontre o limite se existir:
A seguinte equação diferencial aparece em trabalhos que estudam a acumulação de nebulosa no sistema solar:
(a) Determine a região do plano
onde é possível garantir que esta equação possui soluçōes únicas.