Prove, usando a definição, que:
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Aqui, estamos trabalhando com limites de sequências. Para provar que esse limite é mais infinito usando a definição, precisamos mostrar que, conforme
cresce, a expressão
fica cada vez maior sem limite.
Passo 2
Primeiro, simplificamos a expressão
. Dividindo cada termo do numerador por
, temos:
Passo 3
Agora, queremos provar que
. Segundo a definição de limite no infinito, para qualquer número positivo
, por mais grande que seja, sempre podemos encontrar um valor de
tal que para todo
, a expressão
seja maior que
.
Passo 4
Vamos encontrar esse
. Queremos que:
Como
é sempre positivo e diminui conforme
aumenta, podemos garantir que:
Portanto, se
, então
. Para isso, basta que:
Passo 5
Então, escolhemos
. Assim, para todo
, temos:
Isso satisfaz a definição de que, para qualquer
, existe um
tal que
quando
.
Resposta
Portanto, concluímos que
.
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Seja
b) Determine utilizando as propriedades de limites (note que não pode aplicar diretamente a propriedade do quociente (divisão) do limite. Por que?). Portanto, para resolver precisa primeiro simplificar a função.
b) Determine
Integrar as seguintes equações diferenciais:
Prove que se
e
, então
.
Encontre o limite se existir: