Prove, usando a definição, que:
lim n infty n^2-1n=+infty

Passo 1

Vamos resolver o limite lim n infty n^2-1n=+infty. Aqui, estamos trabalhando com limites de sequências. Para provar que esse limite é mais infinito usando a definição, precisamos mostrar que, conforme cresce, a expressão fica cada vez maior sem limite.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão n^2-1n = n^2n - 1n = n - 1n . Dividindo cada termo do numerador por , temos:

Passo 3

Agora, queremos provar que . Segundo a definição de limite no infinito, para qualquer número positivo , por mais grande que seja, sempre podemos encontrar um valor de tal que para todo , a expressão seja maior que .

Passo 4

Vamos encontrar esse n - 1n > M . Queremos que:
n - 1n > n - 1
Como n > M + 1 é sempre positivo e diminui conforme aumenta, podemos garantir que:
Portanto, se , então . Para isso, basta que:

Passo 5

Então, escolhemos n > M + 1 implies n - 1 > M implies n - 1n > M . Assim, para todo , temos:
Isso satisfaz a definição de que, para qualquer , existe um tal que quando .

Resposta

Portanto, concluímos que .

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