Prove, usando a definição, que:

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites de sequências. Para provar que esse limite é mais infinito usando a definição, precisamos mostrar que, conforme cresce, a expressão fica cada vez maior sem limite.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão . Dividindo cada termo do numerador por , temos:

Passo 3

Agora, queremos provar que . Segundo a definição de limite no infinito, para qualquer número positivo , por mais grande que seja, sempre podemos encontrar um valor de tal que para todo , a expressão seja maior que .

Passo 4

Vamos encontrar esse . Queremos que:
Como é sempre positivo e diminui conforme aumenta, podemos garantir que:
Portanto, se , então . Para isso, basta que:

Passo 5

Então, escolhemos . Assim, para todo , temos:
Isso satisfaz a definição de que, para qualquer , existe um tal que quando .

Resposta

Portanto, concluímos que .

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Seja
b) Determine utilizando as propriedades de limites (note que não pode aplicar diretamente a propriedade do quociente (divisão) do limite. Por que?). Portanto, para resolver precisa primeiro simplificar a função.
Integrar as seguintes equações diferenciais:
Prove que se e , então .
Encontre o limite se existir: