Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(l)
(l)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que você mandou:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações exatas e encontrar um fator integrante que torne a equação mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para ver se ela pode ser escrita na forma
:
Reescrevendo:
Agora, identificamos
e
.
Passo 3
Vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, comparamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que dependa apenas de
.
Passo 4
Assumindo que o fator integrante
é uma função de
, usamos a condição:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Isso é uma equação diferencial linear para
em função de
.
Passo 5
Resolvendo a equação
:
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher
, então o fator integrante é:
Passo 6
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a equação é exata.
Passo 7
Para encontrar a solução, buscamos uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 8
Derivando
em relação a
e igualando a
:
Então:
Integrando:
Portanto, a função potencial é:
Passo 9
Igualando a função potencial a uma constante:
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Portanto, a solução da equação diferencial é:
Resposta
A solução da equação diferencial é dada implicitamente por:
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, então
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