Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(l)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o problema de valor inicial que você mandou:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações exatas e encontrar um fator integrante que torne a equação mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para ver se ela pode ser escrita na forma :
Reescrevendo:
Agora, identificamos e .

Passo 3

Vamos verificar se essa equação é exata. Para isso, comparamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que dependa apenas de .

Passo 4

Assumindo que o fator integrante é uma função de , usamos a condição:
Substituindo e :
Simplificando:
Isso é uma equação diferencial linear para em função de .

Passo 5

Resolvendo a equação :
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Podemos escolher , então o fator integrante é:

Passo 6

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Agora, a equação é exata.

Passo 7

Para encontrar a solução, buscamos uma função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de .

Passo 8

Derivando em relação a e igualando a :
Então:
Integrando:
Portanto, a função potencial é:

Passo 9

Igualando a função potencial a uma constante:
Usamos a condição inicial para encontrar :
Portanto, a solução da equação diferencial é:

Resposta

A solução da equação diferencial é dada implicitamente por:

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