Encontre o limite indicado utilizando a Regra de Lc)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
usando a Regra de L’Hospital. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com funções logarítmicas e técnicas para encontrar limites que envolvem formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar saber como aplicar a Regra de L’Hospital e manipular a expressão para que ela se encaixe nos critérios dessa regra.
Passo 2
Primeiro, observe que quando
se aproxima de 0 pela direita (
),
tende a
e
tende a 0. Isso nos dá uma situação onde estamos lidando com o produto de 0 e
, que é uma forma indeterminada. Para aplicar a Regra de L’Hospital, vamos reescrever o limite de forma que fique uma fração.
Passo 3
Reescrevemos o limite original como:
Agora, temos uma fração onde o numerador tende a
e o denominador tende a
, formando uma indeterminação do tipo
, que é adequada para aplicar a Regra de L’Hospital.
Passo 4
Aplicamos a Regra de L’Hospital, que diz que se temos um limite da forma
que resulta em uma indeterminação, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Passo 5
Calculamos as derivadas:
Então, o limite fica:
Resposta
O limite
é igual a 0.
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no intervalo dado.
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Uma equipe de jardinagem precisa aparar a grama de um campo de modo que o seu formato seja o de um losango. As dimensões do campo estabelecidas pelo proprietário são de 25 m para a diagonal maior do campo e 20 m para a diagonal menor. Sabendo que as diagonais maior e menor da área aparada crescem a uma taxa de, respectivamente,
e
, determine a taxa de crescimento da área aparada no exato momento em que a equipe de jardinagem finalizar o serviço.