Encontre o limite indicado utilizando a Regra de Lc) lim x 0^+ x ln (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite usando a Regra de L’Hospital. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites, mais especificamente lidando com funções logarítmicas e técnicas para encontrar limites que envolvem formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar saber como aplicar a Regra de L’Hospital e manipular a expressão para que ela se encaixe nos critérios dessa regra.

Passo 2

Primeiro, observe que quando se aproxima de 0 pela direita ( ), tende a e tende a 0. Isso nos dá uma situação onde estamos lidando com o produto de 0 e , que é uma forma indeterminada. Para aplicar a Regra de L’Hospital, vamos reescrever o limite de forma que fique uma fração.

Passo 3

Reescrevemos o limite original como:
lim x 0^+ x ln (x) = lim x 0^+ ln(x)1x
Agora, temos uma fração onde o numerador tende a e o denominador tende a , formando uma indeterminação do tipo , que é adequada para aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 4

Aplicamos a Regra de L’Hospital, que diz que se temos um limite da forma lim x 0^+ ln(x)1x = lim x 0^+ ddx ln(x)ddx (1x) que resulta em uma indeterminação, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:

Passo 5

Calculamos as derivadas:
ddx ln(x) = 1x
ddx (1x) = -1x^2
Então, o limite fica:
lim x 0^+ 1x-1x^2 = lim x 0^+ -x = 0

Resposta

O limite é igual a 0.

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