Encontre o limite indicado utilizando a Regra de Ld) lim x 0^+ ln (x)tg(pi2-x)

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x 0^+ ln (x)tg(pi2-x) usando a Regra de L’Hospital. Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas e trigonométricas, e precisaremos aplicar derivadas para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções no limite x 0^+:
  • ln(x) tende a -infty porque o logaritmo de números próximos a zero é muito negativo.
  • tg(pi2-x) é igual a cot(x), que tende a +infty quando x se aproxima de 0.
Então, o limite está na forma indeterminada -infty+infty, o que nos permite usar a Regra de L’Hospital, que é aplicada quando o limite está nas formas 00 ou inftyinfty.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
  • A derivada de ln(x) em relação a x é 1x.
  • A derivada de tg(pi2-x) é a derivada de cot(x), que é -csc^2(x).
Portanto, o limite se transforma em:
limx to 0^+ 1x-csc^2(x)

Passo 4

Simplificando a expressão:
1x-csc^2(x) = 1/x-1/sin^2(x) = -sin^2(x)x

Passo 5

Agora, avaliamos o limite de -sin^2(x)x quando x tende a 0^+:
  • Sabemos que sin(x) approx x para valores pequenos de x, então sin^2(x) approx x^2.
  • Substituindo, temos -x^2x = -x.

Passo 6

Finalmente, ao fazer x 0^+, -x tende a 0. Portanto, o limite é:

Resposta

0

Exercícios relacionados