Encontre o limite indicado utilizando a Regra de Ld)

Passo 1

Vamos resolver o limite usando a Regra de L’Hospital. Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas e trigonométricas, e precisaremos aplicar derivadas para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções no limite :
  • tende a porque o logaritmo de números próximos a zero é muito negativo.
  • é igual a , que tende a quando se aproxima de .
Então, o limite está na forma indeterminada , o que nos permite usar a Regra de L’Hospital, que é aplicada quando o limite está nas formas ou .

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de é a derivada de , que é .
Portanto, o limite se transforma em:

Passo 4

Simplificando a expressão:

Passo 5

Agora, avaliamos o limite de quando tende a :
  • Sabemos que para valores pequenos de , então .
  • Substituindo, temos .

Passo 6

Finalmente, ao fazer , tende a . Portanto, o limite é:

Resposta

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