Encontre o limite indicado utilizando a Regra de Ld)
Passo 1
Vamos resolver o limite
usando a Regra de L’Hospital. Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas e trigonométricas, e precisaremos aplicar derivadas para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento das funções no limite
:
-
tende a porque o logaritmo de números próximos a zero é muito negativo. -
é igual a , que tende a quando se aproxima de .
Então, o limite está na forma indeterminada
, o que nos permite usar a Regra de L’Hospital, que é aplicada quando o limite está nas formas
ou
.
Passo 3
Aplicando a Regra de L’Hospital, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
é a derivada de , que é .
Portanto, o limite se transforma em:
Passo 4
Simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, avaliamos o limite de
quando
tende a
:
- Sabemos que
para valores pequenos de , então . - Substituindo, temos
.
Passo 6
Finalmente, ao fazer
,
tende a
. Portanto, o limite é:
Resposta
Exercícios relacionados
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
c)
c)
Sabendo que o perímetro de um quadrado é de 540 cm e que ele diminui a uma taxa de
, encontre a taxa de variação da área deste quadrado no instante
.
Encontre o limite indicado utilizando a Regra de Lc)
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
a)
a)