Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
c) f(x) = 4x / (x^2 + 1), [0, 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos os valores máximo e mínimo absolutos da função no intervalo . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente análise de funções e derivadas para identificar pontos críticos onde podem ocorrer esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o máximo e mínimo absolutos. O valor máximo absoluto é o maior valor que a função atinge no intervalo dado, e o mínimo absoluto é o menor valor. Para isso, precisamos analisar os pontos críticos da função dentro do intervalo e também os valores nas bordas desse intervalo.

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, vamos calcular a derivada da função em relação a . A derivada nos ajuda a identificar onde a inclinação da função é zero ou indefinida, indicando possíveis pontos de máximo ou mínimo.
A função é:
Vamos usar a regra do quociente para derivar:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é zero ou não existe dentro do intervalo .
O numerador é zero quando , ou seja, quando . Portanto, ou . Porém, como nosso intervalo é , consideramos somente .
A derivada está definida para todo , então não há pontos onde a derivada não existe.

Passo 5

Agora, temos um ponto crítico em . Vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas bordas do intervalo para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos.
Calculando em , e :

Resposta

No intervalo , a função atinge seu valor máximo absoluto de em e seu valor mínimo absoluto de em .

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