Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrarmos os valores máximo e mínimo absolutos da função
no intervalo
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente análise de funções e derivadas para identificar pontos críticos onde podem ocorrer esses valores extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o máximo e mínimo absolutos. O valor máximo absoluto é o maior valor que a função atinge no intervalo dado, e o mínimo absoluto é o menor valor. Para isso, precisamos analisar os pontos críticos da função dentro do intervalo e também os valores nas bordas desse intervalo.
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, vamos calcular a derivada da função
em relação a
. A derivada nos ajuda a identificar onde a inclinação da função é zero ou indefinida, indicando possíveis pontos de máximo ou mínimo.
A função é:
Vamos usar a regra do quociente para derivar:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é zero ou não existe dentro do intervalo
.
O numerador é zero quando
, ou seja, quando
. Portanto,
ou
. Porém, como nosso intervalo é
, consideramos somente
.
A derivada está definida para todo
, então não há pontos onde a derivada não existe.
Passo 5
Agora, temos um ponto crítico em
. Vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas bordas do intervalo para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos.
Calculando
em
,
e
:
Resposta
No intervalo
, a função
atinge seu valor máximo absoluto de
em
e seu valor mínimo absoluto de
em
.