Sabendo que o perímetro de um quadrado é de 540 cm e que ele diminui a uma taxa de , encontre a taxa de variação da área deste quadrado no instante .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um quadrado com perímetro de 540 cm, e esse perímetro está diminuindo a uma taxa de . Nosso objetivo é descobrir como a área desse quadrado está mudando no instante de . Vamos usar conceitos de cálculo relacionados às taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o perímetro de um quadrado está relacionado ao lado por . Como sabemos o perímetro inicial, podemos encontrar o lado do quadrado.

Passo 3

Com o perímetro , a fórmula fica:
Resolvendo para :
Então, o lado do quadrado é de 135 cm.

Passo 4

Agora, sabemos que o perímetro está diminuindo a uma taxa de (o sinal negativo indica que está diminuindo). Queremos achar a taxa de variação da área .

Passo 5

A área de um quadrado é dada por . Vamos derivar essa expressão em relação ao tempo :
Mas ainda precisamos encontrar .

Passo 6

Como , derivando em relação ao tempo:
Isolando :

Passo 7

Agora, substituímos e na expressão para :

Resposta

A taxa de variação da área do quadrado no instante é de .

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