Sabendo que o perímetro de um quadrado é de 540 cm e que ele diminui a uma taxa de
, encontre a taxa de variação da área deste quadrado no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um quadrado com perímetro de 540 cm, e esse perímetro está diminuindo a uma taxa de
. Nosso objetivo é descobrir como a área desse quadrado está mudando no instante de
. Vamos usar conceitos de cálculo relacionados às taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o perímetro
de um quadrado está relacionado ao lado
por
. Como sabemos o perímetro inicial, podemos encontrar o lado do quadrado.
Passo 3
Com o perímetro
, a fórmula fica:
Resolvendo para
:
Então, o lado do quadrado é de 135 cm.
Passo 4
Agora, sabemos que o perímetro está diminuindo a uma taxa de
(o sinal negativo indica que está diminuindo). Queremos achar a taxa de variação da área
.
Passo 5
A área
de um quadrado é dada por
. Vamos derivar essa expressão em relação ao tempo
:
Mas ainda precisamos encontrar
.
Passo 6
Como
, derivando em relação ao tempo:
Isolando
:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na expressão para
:
Resposta
A taxa de variação da área do quadrado no instante
é de
.
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