Encontre o limite.
lim t 0lang<=1-cos tt, t^3, e^-1 / t^2rang<=

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite. O enunciado pede para encontrarmos o limite quando lim t 0lang<=1-cos tt, t^3, e^-1 / t^2rang<= se aproxima de 0 da seguinte expressão vetorial:
Aqui, vamos precisar saber um pouco sobre limites e funções trigonométricas, polinomiais e exponenciais para resolver cada componente do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a primeira componente: cos t approx 1 - t^22 + t^424 - dots . Sabemos que, para 1 - cos tt approx 1 - (1 - t^22 + t^424)t = t^22 - t^424t = t2 - t^324 próximo de 0, a expansão de limt to 0 1 - cos tt = 0 é:
Substituindo na expressão:
Quando tende a 0, ambos os termos e tendem a 0. Então:

Passo 3

Agora, vamos para a segunda componente: limt to 0 t^3 = 0 . Como está se aproximando de 0, elevar 0 a qualquer potência positiva também resulta em 0:

Passo 4

Por fim, a terceira componente é limt to 0 e^-1 / t^2 = e^-infty = 0 . Quando se aproxima de 0, cresce sem limite, ou seja, vai para . Então:

Resposta

lang<= 0, 0, 0 rang<=

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