Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro t cresce.
r(t) = <t, -t, 2t>

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação vetorial que descreve uma curva no espaço tridimensional. A matéria que vamos usar é equações vetoriais e curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar entender como desenhar essa curva no gráfico e indicar para onde o parâmetro está aumentando.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação vetorial dada:
Isso significa que:
Cada componente da posição é uma função linear de .

Passo 3

Como todas as coordenadas são lineares em , isso indica que a curva é uma reta no espaço tridimensional. Em geral, uma equação vetorial linear tem a forma:
onde é um ponto na reta e é o vetor diretor.

Passo 4

Comparando com a nossa equação:
Vemos que é o ponto inicial (a origem) e é o vetor diretor da reta.

Passo 5

Para esboçar a reta, começamos no ponto inicial e usamos o vetor diretor para traçar a direção da reta. O vetor nos indica que, para cada aumento de 1 unidade em , há uma diminuição de 1 unidade em e um aumento de 2 unidades em .

Passo 6

Agora, vamos indicar com setas a direção na qual está aumentando. Como cresce, seguimos na direção do vetor diretor . Então, colocamos setas na reta apontando nessa direção para mostrar o aumento de .

Resposta

A curva é uma reta que passa pela origem e tem direção definida pelo vetor . No esboço, começamos no ponto e desenhamos a reta seguindo a direção desse vetor, adicionando setas na parte da reta que vai na direção positiva de . Assim, o gráfico da curva será uma linha reta no espaço com setas indicando que está aumentando na direção do vetor .

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