Esboce o gráfico da curva cuja equação vetorial é dada. Indique com setas a direção na qual o parâmetro
cresce.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma equação vetorial que descreve uma curva no espaço tridimensional. A matéria que vamos usar é equações vetoriais e curvas paramétricas. Para resolver, vamos precisar entender como desenhar essa curva no gráfico e indicar para onde o parâmetro
está aumentando.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação vetorial dada:
Isso significa que:
Cada componente da posição é uma função linear de
.
Passo 3
Como todas as coordenadas são lineares em
, isso indica que a curva é uma reta no espaço tridimensional. Em geral, uma equação vetorial linear tem a forma:
onde
é um ponto na reta e
é o vetor diretor.
Passo 4
Comparando com a nossa equação:
Vemos que
é o ponto inicial (a origem) e
é o vetor diretor da reta.
Passo 5
Para esboçar a reta, começamos no ponto inicial
e usamos o vetor diretor para traçar a direção da reta. O vetor
nos indica que, para cada aumento de 1 unidade em
, há uma diminuição de 1 unidade em
e um aumento de 2 unidades em
.
Passo 6
Agora, vamos indicar com setas a direção na qual
está aumentando. Como
cresce, seguimos na direção do vetor diretor
. Então, colocamos setas na reta apontando nessa direção para mostrar o aumento de
.
Resposta
A curva é uma reta que passa pela origem e tem direção definida pelo vetor
. No esboço, começamos no ponto
e desenhamos a reta seguindo a direção desse vetor, adicionando setas na parte da reta que vai na direção positiva de
. Assim, o gráfico da curva será uma linha reta no espaço com setas indicando que
está aumentando na direção do vetor
.
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Utilize um computador para traçar a curva da equação vetorial dada. Escolha o domínio do parâmetro e ponto de vista de forma a revelar a verdadeira natureza da curva.
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