Encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui é calcular o limite de
quando
se aproxima de 0. Esse tipo de problema está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo limites e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função
se comporta perto de 0 e aplicar algumas técnicas de limites, como a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 0. Se substituirmos
, temos:
Isso nos dá uma indeterminação do tipo
, o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se o limite de
resulta em
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.
Passo 3
Vamos então derivar o numerador e o denominador:
- Derivada do numerador
em relação a é . - Derivada do denominador
em relação a é .
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:
Passo 4
Ainda temos uma forma indeterminada, pois se substituirmos
, obtemos
novamente. Então, aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
O limite fica assim:
Agora, substituindo
:
Resposta
O limite é 2.
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(b) (i)
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