Encontre o limite.
lim x 0 x^21-cos x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos aqui é calcular o limite de quando se aproxima de 0. Esse tipo de problema está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente envolvendo limites e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta perto de 0 e aplicar algumas técnicas de limites, como a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com o numerador e o denominador quando 0^21 - cos 0 = 01 - 1 = 00 se aproxima de 0. Se substituirmos , temos:
Isso nos dá uma indeterminação do tipo , o que significa que podemos aplicar a Regra de L’Hôpital. Essa regra diz que se o limite de resulta em ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite novamente.

Passo 3

Vamos então derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada do numerador lim x 0 x^21-cos x = lim x 0 2xsin x em relação a é .
  • Derivada do denominador em relação a é .
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôpital:

Passo 4

Ainda temos uma forma indeterminada, pois se substituirmos lim x 0 2xsin x = lim x 0 2cos x , obtemos 2cos 0 = 21 = 2 novamente. Então, aplicamos a Regra de L’Hôpital mais uma vez:
  • Derivada de é .
  • Derivada de é .
O limite fica assim:
Agora, substituindo :

Resposta

O limite é 2.

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