Encontre o limite
lim x 0 cossec x sen(sen x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrarmos:
lim x 0 cossec x sen(sen x)
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas: a cossecante (que é o inverso da seno) e a seno da seno de x. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de alguns conceitos básicos de limites e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a cossecante em termos de seno para facilitar:
cossec x = 1sen x
Então, nosso limite fica:
lim x 0 1sen x cdot sen(sen x)

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão multiplicando as frações:
lim x 0 sen(sen x)sen x

Passo 4

Observamos que quando lim u 0 sen uu se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Então, podemos fazer uma substituição para facilitar:
Vamos chamar . Assim, quando , . A expressão fica:

Passo 5

Sabemos de cálculo que:
lim u 0 sen uu = 1
Esse é um limite fundamental que usamos frequentemente em derivadas e análises de funções trigonométricas.

Resposta

Portanto,
lim x 0 cossec x sen(sen x) = 1

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