Encontre o limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para encontrarmos:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas: a cossecante (que é o inverso da seno) e a seno da seno de x. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de alguns conceitos básicos de limites e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a cossecante em termos de seno para facilitar:
Então, nosso limite fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão multiplicando as frações:
Passo 4
Observamos que quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Então, podemos fazer uma substituição para facilitar:
Vamos chamar
. Assim, quando
,
. A expressão fica:
Passo 5
Sabemos de cálculo que:
Esse é um limite fundamental que usamos frequentemente em derivadas e análises de funções trigonométricas.
Resposta
Portanto,
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