Encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse problema está ligado ao estudo de limites no cálculo, especificamente analisando o comportamento de funções racionais quando
tende ao infinito. Para resolver, vamos precisar entender como comparar o crescimento das diferentes potências de
presentes no numerador e no denominador.
Passo 2
Primeiro, observamos o numerador
. A raiz quadrada de
pode ser escrita como
e a raiz cúbica como
. Entre essas duas,
cresce mais rápido que
conforme
aumenta. Portanto, o termo dominante no numerador é
.
Passo 3
No denominador temos
. Aqui, o termo dominante é
, já que
cresce muito mais rápido que a constante 7 quando
tende ao infinito.
Passo 4
Agora, simplificamos a expressão focando nos termos dominantes. Podemos escrever:
Isso porque os outros termos se tornam insignificantes em comparação com os dominantes quando
é muito grande.
Passo 5
Agora, calculamos o limite de
quando
tende ao infinito. Conforme
cresce,
também cresce sem limites, fazendo com que
se aproxime de 0.
Resposta
O limite é 0.
Exercícios relacionados
Nos exercícios 35 a 38, encontre a série de Maclaurin para cada função, indicando o intervalo de convergência da expansão.
Usando que
para
, calcule:
Escreva as quatro definições intuitivas de limites infinitos para limites laterais.