Encontre o limite.
.
Passo 1
A gente precisa encontrar o limite quando
se aproxima de
de
. Esse exercício é de cálculo, mais especificamente sobre limites de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma regra importante que relaciona o limite do seno com argumentos lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de um limite fundamental:
Esse resultado é super útil e a gente vai aplicá-lo aqui.
Passo 3
No nosso caso, temos
em vez de
. Para adaptar ao limite que a gente conhece, vamos manipular a expressão para encaixar na fórmula.
Passo 4
Vamos reescrever a expressão dividindo e multiplicando por
:
Dessa forma, separamos o
que está dentro do seno.
Passo 5
Agora, observamos que:
Isso porque é exatamente do tipo do limite fundamental que vimos no Passo 2.
Passo 6
Finalmente, multiplicamos o resultado pelo
que a gente colocou antes:
Então, o limite total é
.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Dê exemplo de uma sequência que seja limitada e convergente, porém não monótona.
Dizemos que um número real L é o limite, pela esquerda, desta sequência numérica se escolhido qualquer valor positivo para
, existe um índice
(que em geral, depende de
) a partir do qual a distância entre
e
é menor do que
e
L.
Determine o conjunto solução da desigualdade em
.
Mostre que se
, então
. Mostre que a recíproca desse resultado é falsa.
Sugestão: Demonstre e use , para quaisquer
.
Sugestão: Demonstre e use