Encontre o limite.
.

Passo 1

A gente precisa encontrar o limite quando se aproxima de de . Esse exercício é de cálculo, mais especificamente sobre limites de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar uma regra importante que relaciona o limite do seno com argumentos lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de um limite fundamental:
Esse resultado é super útil e a gente vai aplicá-lo aqui.

Passo 3

No nosso caso, temos em vez de . Para adaptar ao limite que a gente conhece, vamos manipular a expressão para encaixar na fórmula.

Passo 4

Vamos reescrever a expressão dividindo e multiplicando por :
Dessa forma, separamos o que está dentro do seno.

Passo 5

Agora, observamos que:
Isso porque é exatamente do tipo do limite fundamental que vimos no Passo 2.

Passo 6

Finalmente, multiplicamos o resultado pelo que a gente colocou antes:
Então, o limite total é .

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Dê exemplo de uma sequência que seja limitada e convergente, porém não monótona.
Dizemos que um número real L é o limite, pela esquerda, desta sequência numérica se escolhido qualquer valor positivo para , existe um índice (que em geral, depende de ) a partir do qual a distância entre e é menor do que e L.
Determine o conjunto solução da desigualdade em .
Mostre que se , então . Mostre que a recíproca desse resultado é falsa.
Sugestão: Demonstre e use , para quaisquer .