Use a fórmula para obter , sabendo que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o vetor usando a fórmula . Aqui, é o vetor tangente unitário e é o vetor normal unitário. Para isso, vamos precisar trabalhar com derivadas de vetores e entender como calcular esses vetores unitários a partir da posição dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade , que é a derivada da posição em relação a . Isso nos dará:
Calculando cada componente:

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude de , que é necessária para encontrar o vetor tangente unitário . A magnitude é dada por:
Como geralmente representa o tempo e assumimos , podemos simplificar para .

Passo 4

Com a magnitude de , podemos encontrar o vetor tangente unitário :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o vetor normal . Para isso, calculamos a derivada de com relação a :

Passo 6

Em seguida, calculamos a magnitude de :

Passo 7

Com a derivada de e sua magnitude, podemos encontrar o vetor normal unitário :

Passo 8

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre e para encontrar :

Passo 9

Calculando o produto vetorial:
Sabemos que e . Além disso, e . Então:

Resposta

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