Use a fórmula B(t) = T(t) x N(t) para obter B(t), sabendo que r(t) = (sen t - t cos t) i + (cos t + t sen t) j + k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o vetor B(t) usando a fórmula . Aqui, vec(T)(t) é o vetor tangente unitário e vec(N)(t) é o vetor normal unitário. Para isso, vamos precisar trabalhar com derivadas de vetores e entender como calcular esses vetores unitários a partir da posição vec(r)(t) dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade , que é a derivada da posição vec(r)(t) em relação a t. Isso nos dará:
Calculando cada componente:

Passo 3

Agora, vamos calcular a magnitude de , que é necessária para encontrar o vetor tangente unitário vec(T)(t). A magnitude é dada por:
Como t geralmente representa o tempo e assumimos t ≥ 0, podemos simplificar para .

Passo 4

Com a magnitude de , podemos encontrar o vetor tangente unitário vec(T)(t):

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o vetor normal vec(N)(t). Para isso, calculamos a derivada de vec(T)(t) com relação a t:

Passo 6

Em seguida, calculamos a magnitude de :

Passo 7

Com a derivada de vec(T)(t) e sua magnitude, podemos encontrar o vetor normal unitário vec(N)(t):

Passo 8

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre vec(T)(t) e vec(N)(t) para encontrar B(t):

Passo 9

Calculando o produto vetorial:
Sabemos que e . Além disso, e . Então:

Resposta

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