Use a fórmula
para obter
, sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o vetor
usando a fórmula
. Aqui,
é o vetor tangente unitário e
é o vetor normal unitário. Para isso, vamos precisar trabalhar com derivadas de vetores e entender como calcular esses vetores unitários a partir da posição
dada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade
, que é a derivada da posição
em relação a
. Isso nos dará:
Calculando cada componente:
Passo 3
Agora, vamos calcular a magnitude de
, que é necessária para encontrar o vetor tangente unitário
. A magnitude é dada por:
Como
geralmente representa o tempo e assumimos
, podemos simplificar para
.
Passo 4
Com a magnitude de
, podemos encontrar o vetor tangente unitário
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o vetor normal
. Para isso, calculamos a derivada de
com relação a
:
Passo 6
Em seguida, calculamos a magnitude de
:
Passo 7
Com a derivada de
e sua magnitude, podemos encontrar o vetor normal unitário
:
Passo 8
Agora, vamos calcular o produto vetorial entre
e
para encontrar
:
Passo 9
Calculando o produto vetorial:
Sabemos que
e
. Além disso,
e
. Então:
Resposta
Exercícios relacionados
Encontre o limite:
Converta as coordenadas
de esféricas para cilíndricas.
Encontre um vetor unitário na direção do qual
cresce mais rapidamente em
e obtenha a taxa de variação de
em
nessa direção.
Exercício 6.2 Seja
a superficie
e
um campo vetorial de classe
. Justifique a igualdade
em que a normal aponta para fora da porção da esfera,
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