Encontre um vetor unitário na direção do qual cresce mais rapidamente em e obtenha a taxa de variação de em nessa direção.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar um vetor unitário na direção em que a função cresce mais rápido no ponto . Além disso, precisamos calcular qual é a taxa de variação de nessa direção. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente de uma função.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
Vamos calcular as derivadas parciais de :

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

O próximo passo é encontrar um vetor unitário na direção desse gradiente. Para fazer isso, precisamos normalizar o vetor gradiente, ou seja, dividir o vetor pelas suas componentes pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:

Passo 5

Agora, dividimos cada componente do gradiente pela sua magnitude para obter o vetor unitário:
á

Passo 6

Por fim, a taxa de variação de na direção do gradiente é igual à magnitude do próprio gradiente. Já calculamos essa magnitude:
çã

Resposta

O vetor unitário na direção do qual cresce mais rapidamente em é e a taxa de variação de nessa direção é .

Exercícios relacionados

Use a fórmula para obter , sabendo que
Encontre o limite:
Exercício 6.2 Seja a superficie
e um campo vetorial de classe . Justifique a igualdade
em que a normal aponta para fora da porção da esfera,
49
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
.