Encontre um vetor unitário na direção do qual
cresce mais rapidamente em
e obtenha a taxa de variação de
em
nessa direção.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão nos pede para encontrar um vetor unitário na direção em que a função
cresce mais rápido no ponto
. Além disso, precisamos calcular qual é a taxa de variação de
nessa direção. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o gradiente de uma função.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é composto pelas derivadas parciais em relação a cada variável.
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
O próximo passo é encontrar um vetor unitário na direção desse gradiente. Para fazer isso, precisamos normalizar o vetor gradiente, ou seja, dividir o vetor pelas suas componentes pela sua magnitude.
Primeiro, calculamos a magnitude do gradiente:
Passo 5
Agora, dividimos cada componente do gradiente pela sua magnitude para obter o vetor unitário:
Passo 6
Por fim, a taxa de variação de
na direção do gradiente é igual à magnitude do próprio gradiente. Já calculamos essa magnitude:
Resposta
O vetor unitário na direção do qual
cresce mais rapidamente em
é
e a taxa de variação de
nessa direção é
.
Exercícios relacionados
Use a fórmula
para obter
, sabendo que
Encontre o limite:
Exercício 6.2 Seja
a superficie
e
um campo vetorial de classe
. Justifique a igualdade
em que a normal aponta para fora da porção da esfera,
49
Determine a ordem das equações diferenciais abaixo:
.