Encontre o limite ou mostre que ele ñao existe.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver o limite quando se aproxima de 0 para a expressão:
Aqui, estamos trabalhando com Cálculo de Limites, mais especificamente analisando o comportamento de uma função conforme se aproxima de um ponto (nesse caso, 0). Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções , e a raiz quadrada se comportam perto de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração dentro da raiz:
Sabemos que oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de diferente de zero. Portanto, estará sempre entre e .

Passo 3

Vamos observar o comportamento de cada termo conforme se aproxima de 0:
  • tende a 0.
  • também tende a 0, mas mais lentamente que .
  • oscila entre -1 e 1, mas multiplicado por , o termo tende a 0.
Assim, o denominador tende a 0 conforme se aproxima de 0.

Passo 4

Agora, analisando a fração inteira dentro da raiz:
Como o denominador está tendendo a 0, o comportamento da fração depende do sinal e do valor de . Se for diferente de zero, a fração tende a infinito ou menos infinito, dependendo de como o denominador se aproxima de 0.

Passo 5

Considerando a raiz quadrada:
Para que a raiz quadrada seja real, o valor dentro dela precisa ser positivo. Porém, como o denominador oscila próximo de 0, o sinal da fração pode alternar entre positivo e negativo dependendo de .

Passo 6

Devido às oscilações de , o denominador pode se aproximar de 0 por valores positivos e negativos infinitamente próximos a 0. Isso faz com que a expressão dentro da raiz não tenha um comportamento consistente, variando de positivo a negativo sem se estabilizar.

Resposta

O limite não existe porque a expressão dentro da raiz oscila sem se estabilizar conforme se aproxima de 0.

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Encontre o limite ou mostre que ele n ao existe.
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