Encontre o limite dos quocientes quando e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o limite dos quocientes e quando e . O conteúdo que vamos usar aqui é o conceito de derivadas parciais, que nos ajuda a entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis independente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Em funções de várias variáveis, como , a derivada parcial em relação a mostra como a função muda quando alteramos apenas , mantendo constante. O mesmo vale para a derivada parcial em relação a .

Passo 3

Vamos calcular o primeiro quociente: . Isso representa a taxa de variação da função em relação a . Substituindo na expressão, temos:
Então,
Dividindo por :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando :
Isso significa que a derivada parcial de em relação a é .

Passo 5

Vamos repetir o processo para o segundo quociente: . Isso representa a taxa de variação da função em relação a . Substituindo , temos:
Então,
Dividindo por :

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando :
Isso significa que a derivada parcial de em relação a é .

Resposta

O limite dos quocientes quando e é:

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Encontre o limite dos quocientes quando e .