Encontre o limite dos quocientes
quando
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o limite dos quocientes
e
quando
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é o conceito de derivadas parciais, que nos ajuda a entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis independente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada parcial. Em funções de várias variáveis, como
, a derivada parcial em relação a
mostra como a função muda quando alteramos apenas
, mantendo
constante. O mesmo vale para a derivada parcial em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular o primeiro quociente:
. Isso representa a taxa de variação da função
em relação a
. Substituindo
na expressão, temos:
Então,
Dividindo por
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
:
Isso significa que a derivada parcial de
em relação a
é
.
Passo 5
Vamos repetir o processo para o segundo quociente:
. Isso representa a taxa de variação da função
em relação a
. Substituindo
, temos:
Então,
Dividindo por
:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando
:
Isso significa que a derivada parcial de
em relação a
é
.
Resposta
O limite dos quocientes quando
e
é:
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Encontre o limite dos quocientes
quando
e
.