Encontre o limite dos quocientes
quando
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, e queremos encontrar o limite de dois quocientes à medida que
e
se aproximam de zero. Esses quocientes são:
O que estamos buscando são as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o primeiro quociente:
Vamos substituir
na expressão. Sabemos que:
Então,
Agora, substituímos de volta no quociente:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro do numerador:
Então, o quociente fica:
Os
no numerador e denominador cancelam:
Como
está se aproximando de zero, o limite desse quociente é simplesmente
. Isso significa que a derivada parcial de
em relação a
é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o segundo quociente:
Primeiro, substituímos
:
Substituindo de volta no quociente:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro do numerador:
Agora, o quociente fica:
Podemos fatorar
no numerador:
Os
no numerador e denominador cancelam:
Como
está se aproximando de zero, o limite desse quociente é
. Portanto, a derivada parcial de
em relação a
é
.
Resposta
Os limites dos quocientes são:
Exercícios relacionados
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
Encontre o limite dos quocientes
quando
e
.
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
Dada
, obtenha
são constantes
. (vale 2 pontos)