Encontre o limite dos quocientes quando e .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e queremos encontrar o limite de dois quocientes à medida que e se aproximam de zero. Esses quocientes são:
O que estamos buscando são as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando uma variável muda, mantendo a outra constante. Para resolver isso, vamos seguir passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o primeiro quociente:
Vamos substituir na expressão. Sabemos que:
Então,
Agora, substituímos de volta no quociente:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do numerador:
Então, o quociente fica:
Os no numerador e denominador cancelam:
Como está se aproximando de zero, o limite desse quociente é simplesmente . Isso significa que a derivada parcial de em relação a é .

Passo 4

Agora, vamos calcular o segundo quociente:
Primeiro, substituímos :
Substituindo de volta no quociente:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro do numerador:
Agora, o quociente fica:
Podemos fatorar no numerador:
Os no numerador e denominador cancelam:
Como está se aproximando de zero, o limite desse quociente é . Portanto, a derivada parcial de em relação a é .

Resposta

Os limites dos quocientes são:

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Calcule, se existirem, os seguintes limites:
Encontre o limite dos quocientes quando e .
Calcule, se existirem, os seguintes limites:
Dada , obtenha são constantes . (vale 2 pontos)