Seja
(1) Esboce o gráfico de .
(2) é derivável em ? Em caso afirmativo, calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta uma função definida por partes:
A matéria aqui envolve funções por partes, gráficos de funções e derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como desenhar gráficos de funções e verificar a derivabilidade em um ponto específico usando os conceitos de limites e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar o gráfico de . A função tem duas partes:
  1. Para , . Isso é uma linha horizontal no valor 2.
  2. Para , . Essa é uma parábola que abre para cima, deslocada 2 unidades para cima.
Vamos plotar cada parte:
  • Para : Desenhe uma linha horizontal passando pelo ponto .
  • Para : Desenhe a parábola apenas para valores negativos de .

Passo 3

Agora, precisamos verificar o que acontece no ponto , onde as duas partes se encontram. Vamos calcular o valor de :
Como , usamos a primeira parte:
Para a parte da parábola, quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Então, o gráfico está bem comportado em , sem saltos.

Passo 4

Agora, vamos à segunda parte da questão: verificar se é derivável em .
Primeiro, lembramos que uma função é derivável em um ponto se ela é contínua nesse ponto e se os limites das derivadas laterais existem e são iguais.
Já vimos que é contínua em , pois:

Passo 5

Vamos calcular as derivadas laterais.
  • Derivada pela direita ( ):
    , que é uma constante. A derivada de uma constante é 0.
  • Derivada pela esquerda ( ):
    . A derivada é:
    Então, quando se aproxima de 0 pela esquerda:

Passo 6

Como as derivadas laterais são iguais:
Podemos concluir que é derivável em e que a derivada nesse ponto é 0.

Resposta

  1. O gráfico de é uma linha horizontal em para e uma parábola para .
  2. A função é derivável em e a derivada nesse ponto é .

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