Seja
(1) Esboce o gráfico de
.
(2)
é derivável em
? Em caso afirmativo, calcule
.
(2)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta uma função definida por partes:
A matéria aqui envolve funções por partes, gráficos de funções e derivadas. Para resolver, vamos precisar entender como desenhar gráficos de funções e verificar a derivabilidade em um ponto específico usando os conceitos de limites e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o gráfico de
. A função tem duas partes:
- Para
, . Isso é uma linha horizontal no valor 2. - Para
, . Essa é uma parábola que abre para cima, deslocada 2 unidades para cima.
Vamos plotar cada parte:
- Para
: Desenhe uma linha horizontal passando pelo ponto . - Para
: Desenhe a parábola apenas para valores negativos de .
Passo 3
Agora, precisamos verificar o que acontece no ponto
, onde as duas partes se encontram. Vamos calcular o valor de
:
Como
, usamos a primeira parte:
Para a parte da parábola, quando
se aproxima de 0 pela esquerda (
):
Então, o gráfico está bem comportado em
, sem saltos.
Passo 4
Agora, vamos à segunda parte da questão: verificar se
é derivável em
.
Primeiro, lembramos que uma função é derivável em um ponto se ela é contínua nesse ponto e se os limites das derivadas laterais existem e são iguais.
Já vimos que
é contínua em
, pois:
Passo 5
Vamos calcular as derivadas laterais.
-
Derivada pela direita (
):
, que é uma constante. A derivada de uma constante é 0. -
Derivada pela esquerda (
):
. A derivada é: Então, quandose aproxima de 0 pela esquerda:
Passo 6
Como as derivadas laterais são iguais:
Podemos concluir que
é derivável em
e que a derivada nesse ponto é 0.
Resposta
- O gráfico de
é uma linha horizontal em para e uma parábola para . - A função
é derivável em e a derivada nesse ponto é .
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