Encontre o limite. Use a Regra de l
lim x infty ln (ln x) arctan (x^2)x a r c t a n(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim x infty ln (ln x) cdot arctan (x^2)x cdot arctan(x)
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, propriedades dos logaritmos e funções trigonométricas como a arctan. Vamos precisar também da Regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos formas indeterminadas como ∞/∞.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando tende ao infinito.
  • : O logaritmo natural de cresce sem limites, mas de forma bem lenta. Então, também tende ao infinito, mas ainda mais lentamente.
  • : A função arco-tangente de se aproxima de conforme cresce, porque tende ao infinito.
  • : Similarmente, tende a quando vai para o infinito, então o denominador se comporta como , que também vai para o infinito.
Assim, temos uma forma , que é indeterminada e permite o uso da Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se limx to infty f(x)g(x) = limx to infty f'(x)g'(x) resulta em ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de f'(x) = ddx[ln(ln x)] cdot arctan(x^2) + ln(ln x) cdot ddx[arctan(x^2)] e f'(x) = 1x ln x cdot arctan(x^2) + ln(ln x) cdot 2x1 + x^4 :
Derivada de g'(x) = ddx[x] cdot arctan(x) + x cdot ddx[arctan(x)] :
Usamos a regra do produto:
g'(x) = arctan(x) + x1 + x^2
Calculando cada parte:
Então,
Derivada de :
Novamente, usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então,

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas no limite:
lim x infty 1x ln x cdot arctan(x^2) + ln(ln x) cdot 2x1 + x^4arctan(x) + x1 + x^2
Vamos analisar cada termo quando lim x infty 1x ln x cdot pi2 + 0pi2 + 0 = lim x infty pi2 x ln xpi2 = lim x infty 1x ln x tende ao infinito:
Então, o limite simplifica para:

Passo 6

Agora, precisamos calcular:
lim x infty 1x ln x
À medida que cresce, também tende ao infinito, então tende a .

Resposta

O limite é igual a 0.

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