Encontre o limite. Use a Regra de l

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, propriedades dos logaritmos e funções trigonométricas como a arctan. Vamos precisar também da Regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos formas indeterminadas como ∞/∞.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando tende ao infinito.
  • : O logaritmo natural de cresce sem limites, mas de forma bem lenta. Então, também tende ao infinito, mas ainda mais lentamente.
  • : A função arco-tangente de se aproxima de conforme cresce, porque tende ao infinito.
  • : Similarmente, tende a quando vai para o infinito, então o denominador se comporta como , que também vai para o infinito.
Assim, temos uma forma , que é indeterminada e permite o uso da Regra de L’Hôpital.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se resulta em ou , então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Aqui, e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de e :
Derivada de :
Usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então,
Derivada de :
Novamente, usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então,

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas no limite:
Vamos analisar cada termo quando tende ao infinito:
Então, o limite simplifica para:

Passo 6

Agora, precisamos calcular:
À medida que cresce, também tende ao infinito, então tende a .

Resposta

O limite é igual a 0.

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quilocalorias por dia.
(a) Determine a taxa de variação do metabolismo basal de uma onça de 80 kg que está ganhando massa à taxa de por dia.
(b) Determine a taxa de variação do metabolismo basal de uma avestruz de 50 kg que está perdendo massa a taxa de por dia.
Seja
(1) Esboce o gráfico de .
(2) é derivável em ? Em caso afirmativo, calcule .
Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)