Encontre o limite. Use a Regra de l
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites, propriedades dos logaritmos e funções trigonométricas como a arctan. Vamos precisar também da Regra de L’Hôpital, que é útil quando encontramos formas indeterminadas como ∞/∞.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando
tende ao infinito.
-
: O logaritmo natural de cresce sem limites, mas de forma bem lenta. Então, também tende ao infinito, mas ainda mais lentamente. -
: A função arco-tangente de se aproxima de conforme cresce, porque tende ao infinito. -
: Similarmente, tende a quando vai para o infinito, então o denominador se comporta como , que também vai para o infinito.
Assim, temos uma forma
, que é indeterminada e permite o uso da Regra de L’Hôpital.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se
resulta em
ou
, então podemos derivar o numerador e o denominador separadamente:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Derivada de
:
Usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então,
Derivada de
:
Novamente, usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos as derivadas no limite:
Vamos analisar cada termo quando
tende ao infinito:
Então, o limite simplifica para:
Passo 6
Agora, precisamos calcular:
À medida que
cresce,
também tende ao infinito, então
tende a
.
Resposta
O limite é igual a 0.
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quilocalorias por dia.
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Seja
(1) Esboce o gráfico de
.
(2) é derivável em
? Em caso afirmativo, calcule
.
(2)
Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções. (Verifique sua resposta derivando.)