Encontre o limite. Use a Regra de L lim x -1 x^a-1x^b-1

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x -1 x^a-1x^b-1. Para isso, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que é útil para calcular limites que resultam em formas indeterminadas como 00 ou inftyinfty. Precisamos conhecer derivadas de funções polinomiais para aplicar essa regra.

Passo 2

Primeiro, substituímos x = -1 na expressão para verificar se realmente temos uma forma indeterminada:
(-1)^a-1(-1)^b-1
Dependendo dos valores de a e b, o resultado pode ser 00. Assumindo que temos essa forma indeterminada, podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se limx to c f(x)g(x) é da forma 00 ou inftyinfty, então:
limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x)
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador.

Passo 4

Calculando a derivada do numerador f(x) = x^a - 1:
f'(x) = a cdot x^a-1
E a derivada do denominador g(x) = x^b - 1:
g'(x) = b cdot x^b-1

Passo 5

Agora aplicamos a Regra de L’Hôpital substituindo as derivadas:
lim x -1 a cdot x^a-1b cdot x^b-1 = ab cdot lim x -1 x^a - b

Passo 6

Calculamos o limite restante:
lim x -1 x^a - b = (-1)^a - b
Isso depende dos valores de a e b, mas assumindo que a - b é um número inteiro, temos:
(-1)^a - b = 1 & se a - b é par -1 & se a - b é ímpar ééí

Resposta

Portanto, o limite é:
lim x -1 x^a-1x^b-1 = ab cdot (-1)^a - b

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