Sejam A e B anéis e sejam N um subanel de
. Seja um homomorfismo de anéis.
Considere cada afirmação:
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  1. Para qualquer e qualquer inteiro positivo tem-se: e .
  2. é um subanel de .
  3. Se tem elemento identidade 1 , não se reduz ao zero, e F é sobrejetora, então é o elemento identidade de B.
  4. F é um isomorfismo se e somente se F é sobrejetora e .
  5. Se é um isomorfismo de em , entäo é um isomorfismo de em .
    Analise e complete, a cada afirmação, com a opçâo correta.
    VERDADEIRA FALSA

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre homomorfismos de anéis, que são funções entre dois anéis que preservam as operações de adição e multiplicação. A gente tem dois anéis, e , e uma função que é um homomorfismo. Também temos um subanel de . Vamos verificar cinco afirmações sobre essas funções e propriedades de anéis para ver se são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos lembrar de conceitos como imagem de um subanel, elemento identidade, sobrejetividade, núcleo de uma função e isomorfismo de anéis.

Passo 2

Afirmação 1: Para qualquer e qualquer inteiro positivo , temos: e .
Vamos entender isso. Primeiro, faz sentido porque preserva a adição, então somar vezes em é o mesmo que somar vezes em .
Agora, também é verdadeiro porque preserva a multiplicação. Então, multiplicar por si mesmo vezes antes de aplicar é igual a multiplicar por si mesmo vezes em .

Passo 3

Afirmação 2: é um subanel de .
Aqui, é a imagem do subanel em através de . Para ser um subanel de , ele precisa ser fechado sob adição e multiplicação e conter o elemento zero de .
Como é um homomorfismo, ele preserva essas operações, então realmente será um subanel de .

Passo 4

Afirmação 3: Se tem elemento identidade 1, não se reduz ao zero, e é sobrejetora, então é o elemento identidade de .
Vamos por partes. Se é sobrejetora, todo elemento de é imagem de algum elemento de . Agora, deve atuar como identidade em .
Como preserva a multiplicação, para qualquer , que é para algum , temos , e similarmente . Assim, age como identidade em .

Passo 5

Afirmação 4: é um isomorfismo se e somente se é sobrejetora e .
Um isomorfismo de anéis é uma função que é bijetora (sobrejetora e injetora) e preserva as operações. Se , isso significa que é injetora. Se além disso, é sobrejetora, então é bijetora. Então, sendo sobrejetora e com núcleo trivial implica que é um isomorfismo. E vice-versa, se é um isomorfismo, ele é bijetor e tem núcleo .

Passo 6

Afirmação 5: Se é um isomorfismo de em , então é um isomorfismo de em .
Se é um isomorfismo, então possui uma função inversa que também preserva as operações de adição e multiplicação. Portanto, também é um isomorfismo de em .

Resposta

  1. Verdadeira
  2. Verdadeira
  3. Verdadeira
  4. Verdadeira
  5. Verdadeira

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