Sejam A e B anéis e sejam N um subanel de
. Seja
um homomorfismo de anéis.
Considere cada afirmação:
Navegaçã
1
2
- Para qualquer
e qualquer inteiro positivo
tem-se:
e
.
-
é um subanel de
.
- Se
tem elemento identidade 1 ,
não se reduz ao zero, e F é sobrejetora, então
é o elemento identidade de B.
- F é um isomorfismo se e somente se F é sobrejetora e
.
- Se
é um isomorfismo de
em
, entäo
é um isomorfismo de
em
.
Analise e complete, a cada afirmação, com a opçâo correta.
VERDADEIRA FALSA
Considere cada afirmação:
Navegaçã
1
2
Analise e complete, a cada afirmação, com a opçâo correta.
VERDADEIRA FALSA
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre homomorfismos de anéis, que são funções entre dois anéis que preservam as operações de adição e multiplicação. A gente tem dois anéis,
e
, e uma função
que é um homomorfismo. Também temos um subanel
de
. Vamos verificar cinco afirmações sobre essas funções e propriedades de anéis para ver se são verdadeiras ou falsas. Para isso, vamos lembrar de conceitos como imagem de um subanel, elemento identidade, sobrejetividade, núcleo de uma função e isomorfismo de anéis.
Passo 2
Afirmação 1: Para qualquer
e qualquer inteiro positivo
, temos:
e
.
Vamos entender isso. Primeiro,
faz sentido porque
preserva a adição, então somar
vezes em
é o mesmo que somar
vezes em
.
Agora,
também é verdadeiro porque
preserva a multiplicação. Então, multiplicar
por si mesmo
vezes antes de aplicar
é igual a multiplicar
por si mesmo
vezes em
.
Passo 3
Afirmação 2:
é um subanel de
.
Aqui,
é a imagem do subanel
em
através de
. Para
ser um subanel de
, ele precisa ser fechado sob adição e multiplicação e conter o elemento zero de
.
Como
é um homomorfismo, ele preserva essas operações, então realmente
será um subanel de
.
Passo 4
Afirmação 3: Se
tem elemento identidade 1,
não se reduz ao zero, e
é sobrejetora, então
é o elemento identidade de
.
Vamos por partes. Se
é sobrejetora, todo elemento de
é imagem de algum elemento de
. Agora,
deve atuar como identidade em
.
Como
preserva a multiplicação, para qualquer
, que é
para algum
, temos
, e similarmente
. Assim,
age como identidade em
.
Passo 5
Afirmação 4:
é um isomorfismo se e somente se
é sobrejetora e
.
Um isomorfismo de anéis é uma função que é bijetora (sobrejetora e injetora) e preserva as operações. Se
, isso significa que
é injetora. Se além disso,
é sobrejetora, então
é bijetora. Então,
sendo sobrejetora e com núcleo trivial implica que é um isomorfismo. E vice-versa, se
é um isomorfismo, ele é bijetor e tem núcleo
.
Passo 6
Afirmação 5: Se
é um isomorfismo de
em
, então
é um isomorfismo de
em
.
Se
é um isomorfismo, então possui uma função inversa
que também preserva as operações de adição e multiplicação. Portanto,
também é um isomorfismo de
em
.
Resposta
- Verdadeira
- Verdadeira
- Verdadeira
- Verdadeira
- Verdadeira
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