Prove que se é uma relação de equivalência em , então o quociente é uma partição de .

Passo 1

Beleza! Vamos lá: O exercício pede para provar que se é uma relação de equivalência em um conjunto , então o quociente é uma partição de . Estamos trabalhando com teoria de conjuntos, mais especificamente com relações de equivalência e partições. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência, o que é uma partição e o que significa o conjunto quociente .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação em é de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
  1. Reflexiva: Para todo , .
  2. Simétrica: Se , então .
  3. Transitiva: Se e , então .
Essas propriedades garantem que os elementos do conjunto possam ser agrupados de maneira organizada.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é uma partição de um conjunto. Uma partição de é uma divisão de em subconjuntos não vazios, disjuntos entre si, de modo que a união de todos esses subconjuntos dá todo o conjunto . Ou seja, cada elemento de pertence a exatamente um desses subconjuntos.

Passo 4

O conjunto quociente é formado pelas classes de equivalência de em relação à relação . Uma classe de equivalência para um elemento é o conjunto de todos os elementos de que são equivalentes a , ou seja:
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos provar que é uma partição de . Precisamos verificar dois pontos:
  1. Disjunção: As classes de equivalência são disjuntas, ou seja, se e são duas classes diferentes, então .
  2. Cobertura: A união de todas as classes de equivalência é todo o conjunto , ou seja, .

Passo 6

Disjunção: Suponha que exista um elemento que pertence a duas classes de equivalência diferentes, e . Então, e . Pela simetria, temos . Pela transitividade, se e , então , o que implica que . Portanto, não podem existir classes diferentes que compartilhem elementos, garantindo que elas são disjuntas.

Passo 7

Cobertura: Para todo elemento , pelo menos existe uma classe de equivalência que contém , especificamente . Assim, cada elemento de está em alguma das classes de equivalência, e a união de todas essas classes abrange todo o conjunto .

Resposta

Portanto, provamos que se é uma relação de equivalência em , então o quociente forma uma partição de .

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