Prove que se
é uma relação de equivalência em
, então o quociente
é uma partição de
.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: O exercício pede para provar que se
é uma relação de equivalência em um conjunto
, então o quociente
é uma partição de
. Estamos trabalhando com teoria de conjuntos, mais especificamente com relações de equivalência e partições. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência, o que é uma partição e o que significa o conjunto quociente
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação
em
é de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
- Reflexiva: Para todo
, . - Simétrica: Se
, então . - Transitiva: Se
e , então .
Essas propriedades garantem que os elementos do conjunto
possam ser agrupados de maneira organizada.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é uma partição de um conjunto. Uma partição de
é uma divisão de
em subconjuntos não vazios, disjuntos entre si, de modo que a união de todos esses subconjuntos dá todo o conjunto
. Ou seja, cada elemento de
pertence a exatamente um desses subconjuntos.
Passo 4
O conjunto quociente
é formado pelas classes de equivalência de
em relação à relação
. Uma classe de equivalência para um elemento
é o conjunto de todos os elementos de
que são equivalentes a
, ou seja:
Portanto,
.
Passo 5
Agora, vamos provar que
é uma partição de
. Precisamos verificar dois pontos:
- Disjunção: As classes de equivalência são disjuntas, ou seja, se
e são duas classes diferentes, então . - Cobertura: A união de todas as classes de equivalência é todo o conjunto
, ou seja, .
Passo 6
Disjunção: Suponha que exista um elemento
que pertence a duas classes de equivalência diferentes,
e
. Então,
e
. Pela simetria, temos
. Pela transitividade, se
e
, então
, o que implica que
. Portanto, não podem existir classes diferentes que compartilhem elementos, garantindo que elas são disjuntas.
Passo 7
Cobertura: Para todo elemento
, pelo menos existe uma classe de equivalência que contém
, especificamente
. Assim, cada elemento de
está em alguma das classes de equivalência, e a união de todas essas classes abrange todo o conjunto
.
Resposta
Portanto, provamos que se
é uma relação de equivalência em
, então o quociente
forma uma partição de
.
Exercícios relacionados
Use o Teorema da Divergência para provar que se
e
denota o volume do sólido de área superficial
, então o fluxo de
através de
é dado por:
Encontre o limite. Use a Regra de l
Seja
uma função e considere a coleção
Prove que
é uma partição de
.
Seja
um conjunto e seja
uma relação de equivalência em
. Prove que a função quociente
é sobrejetora.