Prove que se ~ é uma relação de equivalência em X, então o quociente X / ~ é uma partição de X.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: O exercício pede para provar que se ~ é uma relação de equivalência em um conjunto X, então o quociente X / ~ é uma partição de X. Estamos trabalhando com teoria de conjuntos, mais especificamente com relações de equivalência e partições. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma relação de equivalência, o que é uma partição e o que significa o conjunto quociente X / ~.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma relação de equivalência. Uma relação ~ em X é de equivalência se ela satisfaz três propriedades:
  1. Reflexiva: Para todo a in X, .
  2. Simétrica: Se a ~ b, então .
  3. Transitiva: Se a ~ b e , então .
Essas propriedades garantem que os elementos do conjunto X possam ser agrupados de maneira organizada.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é uma partição de um conjunto. Uma partição de X é uma divisão de X em subconjuntos não vazios, disjuntos entre si, de modo que a união de todos esses subconjuntos dá todo o conjunto X. Ou seja, cada elemento de X pertence a exatamente um desses subconjuntos.

Passo 4

O conjunto quociente X / ~ é formado pelas classes de equivalência de X em relação à relação ~. Uma classe de equivalência para um elemento a in X é o conjunto de todos os elementos de X que são equivalentes a a, ou seja:
Portanto, .

Passo 5

Agora, vamos provar que X / ~ é uma partição de X. Precisamos verificar dois pontos:
  1. Disjunção: As classes de equivalência são disjuntas, ou seja, se e são duas classes diferentes, então .
  2. Cobertura: A união de todas as classes de equivalência é todo o conjunto X, ou seja, .

Passo 6

Disjunção: Suponha que exista um elemento x que pertence a duas classes de equivalência diferentes, e . Então, e . Pela simetria, temos . Pela transitividade, se e , então a ~ b, o que implica que . Portanto, não podem existir classes diferentes que compartilhem elementos, garantindo que elas são disjuntas.

Passo 7

Cobertura: Para todo elemento x em X, pelo menos existe uma classe de equivalência que contém x, especificamente [x]. Assim, cada elemento de X está em alguma das classes de equivalência, e a união de todas essas classes abrange todo o conjunto X.

Resposta

Portanto, provamos que se ~ é uma relação de equivalência em X, então o quociente X / ~ forma uma partição de X.

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