Encontre o limite. Use a Regra de l lim x 3 ln (x / 3)3-x

Passo 1

Beleza, a gente precisa encontrar o limite:
limx 3 ln(x3)3 - x
Vamos usar a Regra de L’Hospital, que é útil quando temos formas indeterminadas como 0/0 ou ∞/∞. Então, vamos ver se é o caso aqui e quais ferramentas vamos precisar para resolver.

Passo 2

Primeiro, substituímos ln(33) = ln(1) = 0 no numerador e no denominador para ver se temos uma forma indeterminada.
No numerador:
3 - 3 = 0
No denominador:
Então, temos a forma , que é uma indeterminação. Isso significa que podemos aplicar a Regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital nos diz que, se temos um limite da forma limx a f(x)g(x) = limx a f(x)g(x) ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite dessas derivadas.
Ou seja:
Desde que o novo limite exista.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador.
Numerador:
f(x) = ln(x3) f(x) = 1x3 cdot 13 = 1x
Denominador:
g(x) = 3 - x g(x) = -1

Passo 5

Agora, aplicamos a regra com as derivadas:
limx 3 1x-1 = limx 3 (-1x) = -13

Resposta

O limite é .

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